假定函数在x=0处可以展开为幂级数,求该函数在x=0处的高阶导数的函数值。
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注意: 此处的x=0处展开,也可以改为x=a处展开,然后求x=a处的高阶导数的函数值。解法相同,结论一样。
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此处的n,m,k都是非负整数。
x的k次方,按134楼的高阶导数公式,可知他的k阶导数为k!,也就是k的阶乘。
又因为常数的导数是零,所以x的k次方的k+1阶及以上的导数都是零。
所以x的次方小于k的项,求k阶导之后,导数都是零。
而x的k+1次方,求k阶导之后,剩下的x次方是1次,必定含有x,代入x=0后导数值为零。同理x的次方大于k的,求k阶导之后都会含有x,代入x=0后导数值为零。
所以求在x=0处的k阶导数,只需要看x的k次方这一项,其他项在x=0处的k阶导数都是零。
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具体算法见下图:
结论: f(x)的m阶导在x=0的值,就是x的m次方的系数乘以m的阶乘。
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