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二重极限, 多元函数连续性, 可微定义, 偏导数定义

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  • baqktdgt
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本贴的内容:
1) 二重极限存在的常见解法。
2) 二重极限不存在证明方法:特殊路径,如 y = kx, y = x - kx²
3) 二重极限的极坐标变换,一般用来证明极限不存在,不能用来证明极限存在。因为如果用来证明极限存在,需要用到对 θ 的一致连续性,而一致连续性在非数学专业的考研中并不要求
4) 二元函数的连续性定义。
5) 二元函数的偏导数定义,二阶混合偏导数定义。
6) 二元函数可微定义。
7) 二元函数判别极值点,这里只讲极限保号性的解法。


  • baqktdgt
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二楼


2025-08-01 04:02:34
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  • baqktdgt
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三楼


  • baqktdgt
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二重极限存在的常见解法:直接代值法。
和一重极限的直接代值法类似。
.
如果 x 和 y 代入之后,不出现极限的七种未定式,就可以将 x 和 y 代入。
初等函数在定义域内连续。
如果二元函数f(x,y)在P(x0,y0)连续,则lim x->x0, y->y0 f(x,y) = f(x0,y0)
.

.
直接代值的例题。
.



  • baqktdgt
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    15
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一重极限的很多方法,也适用于二重极限。
注意:
二重极限中,一般不使用泰勒公式,一般也不使用洛必达法则。
但如果使用换元法,将二重极限转为一重极限后,就可以使用泰勒公式和洛必达法则了。
.
泰勒公式贴的链接:
http://tieba.baidu.com/p/6093533023
泰勒公式贴里面讲了一重极限的各种理论和各种定理的使用条件,请熟练掌握里面的理论知识。
泰勒公式贴的59楼和60楼的极限代值的理论,一定要掌握。也就是什么情况下才可以代值?
.
以下方法适用:
1. 极限四则运算法则。
2. 极限四则运算法则的推广:
泰勒公式贴的5到8楼有讲。
3. 等价无穷小的使用。
泰勒公式贴的20楼中有讲。
4. 取对数的使用。
泰勒公式贴的26楼中有讲。
5. 夹逼准则。
6. 有界量乘以无穷小量。
7. 换元法,转为一重极限。
8. 分子分母有理化,三角函数恒等变形,对数函数恒等变形,指数函数恒等变形。
9. 无穷小量的倒数是无穷大量,无穷大量的倒数是无穷小量。
10. 零比零才有极限。
泰勒公式贴的30楼中有讲。


  • baqktdgt
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    15
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利用等价无穷小替换。
后面会有很多例题用到。
.


  • baqktdgt
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利用恒等变形。
例如:分子有理化,或者分母有理化,或者分子分母同时有理化。
.
分子有理化的例子:
约分xy之后,直接代值。
.
下面这题也可以令 t = xy,t --> 0,转为一重极限进行计算。
.

.
x+y看成整体,等价无穷小。
此题也可以令 t = x+y,转为一重极限进行计算。
此题也可以用分子有理化。
.

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等价无穷小。
实在想要追求严谨性,可以分 a 等于零和 a 不等于零两种情况讨论。
.

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等价无穷小。
也可以令 t = x² + y², t --> 0+,转为一重极限进行计算。
.



  • baqktdgt
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    15
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幂指函数,1的无穷型次方未定式的极限。
.
对于底数极限是1,指数极限是无穷大量,也就是1的无穷型次方未定式。
和一重极限的取对数计算方法一样。
注意:
1的无穷型次方未定式。。。
.
取对数,将极限符号移到指数部分,然后 ln 等价无穷小。
现在我们已经将幂指函数转化为乘法,后面正常计算就可以了。
.
这种题型的题目非常多,这里只举几个例子。
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取对数。
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取对数。
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取对数。
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2025-08-01 03:56:34
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  • baqktdgt
  • 小吧主
    15
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这种题型很常见。
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基本解法有两种。
第一种是有界量乘以无穷小量。
第二种是均值不等式放缩,夹逼准则。
.
在二重极限中,绝大部分使用夹逼准则的题目,他的极限都是零。
所以一般都是取绝对值之后再进行放缩。
夹逼准则左边取零,右边取无穷小量。
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.
有界量乘以无穷小量。
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.
有界量乘以无穷小量。
.


  • baqktdgt
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    15
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极限四则运算法则的使用。
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乘法拆开两个极限。拆开极限之后,后面的极限才可以代值。
前面的极限转为一重极限进行计算。
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分子有理化。
乘法拆开两个极限。拆开极限之后,后面的极限才可以代值。
加法拆开两个极限。
有界量乘以无穷小量。
.


  • baqktdgt
  • 小吧主
    15
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无穷小量的倒数是无穷大量。
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等价无穷小。
我们计算原式的倒数。
有界量乘以无穷小量。
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  • baqktdgt
  • 小吧主
    15
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幂函数趋向无穷大的速度比指数函数慢。
这个是一重极限的性质,使用洛必达法则易证,这里直接使用结论。
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这里讲一个题目的两种解法,当然你也可以用其他的解法。
.
将 x+y 看成整体,也可以换元转为一重极限。
有界量乘以无穷小量。
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加法拆开两个极限。
乘法拆开两个极限,转为一重极限处理。
.


  • baqktdgt
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对数函数趋向无穷大的速度比幂函数慢。
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幂指函数。
0的0型未定式,无穷的0型未定式。
将底数取倒数,指数前面加个负号,则两种未定式可以相互转化。
.
对于这类题目,解法和一重极限类似。只要底数大于零,就可以取对数转为乘法。
.
这里加上绝对值是为了防止对负数开根号,为了保证极限有定义。
这类题目,基本都是转换为一重极限进行计算。
.
解法1:
恒等变形。
有界量乘以无穷小量。
.

.
解法2:
恒等变形。
有界量乘以无穷小量。
因为 x 和 y 的地位相同,所以交换 x 和 y 是另一种解法。
.

.
幂指函数取对数。
详细计算过程见后面的图。
.

.
对数函数趋向无穷大的速度比幂函数慢。
有界量乘以无穷小量。
.

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取对数。
对数函数趋向无穷大的速度比幂函数慢。
.


  • baqktdgt
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讲解几个例题,总结一种常见题型。
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解法见后面的图。
主要使用:
拆开极限。
有界量乘以无穷小量。
.

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拆开极限。
有界量乘以无穷小量。
.

.
这里加上绝对值是为了防止对负数开根号,为了保证极限有定义。有界量乘以无穷小量。
.

.
这里加上绝对值是为了防止对负数开根号,为了保证极限有定义。
有界量乘以无穷小量。
上图的推广。
.

.
两种解法:
第一种解法:蓝色是有界量,利用有界量乘以无穷小量。
第二种解法:化为上面的推广,计算 a + b = 3/2 > 1,所以极限为零。
.

.
两种解法。
第一种解法:化为上面的推广。
第二种解法:均值不等式,有界量乘以无穷小量。
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2025-08-01 03:50:34
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  • baqktdgt
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讲解一种题型。并附上两个例题。
平均值不等式。
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下图的红色满足上图14楼的推广,所以极限是无穷小。
红色后面的那项式子,经过证明是有界量。
所以最终极限是零。
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附上例题。
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.
附上例题。
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