回复：二重极限, 多元函数连续性, 可微定义, 偏导数定义

题目
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这个楼层主要讲偏导数，商的求导公式。
其实和一元函数商的求导公式是一样的。
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下面所有图的计算过程中，f 和 f ' 都没有用简写，其实是可以用简写的。
注意：
复合求导，链式法则。
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z 是 x, y 的二元函数。
f 是一元函数映射关系，f 可导。
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先求 z 对 x 的偏导数。
下图红框 y 对 x 的偏导数是零，红框其实不用写。
我这里特地写出来，是为了把商的求导公式写完整。
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再求 z 对 y 的偏导数。
红色也可以写为 d/dy，或者直接 d/dy (y) 改写为 1，或直接不写。
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计算后得证。
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题目
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我的详细答案在后面。
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定义新的变量 z，我习惯对 z 求导。
因式分解。
对 x 求偏导数时，将 y 看成常数。
对 y 求偏导数时，将 x 看成常数。
莱布尼茨公式计算高阶导数。
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这个楼层，讲一下链式法则。
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链式法则的例子。
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再举一个例子。
下图是题目和书本答案。
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用数字1, 2来表示函数映射关系 f, g 的偏导数，更容易理解。
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下面详细讲一下链式法则。
对函数映射关系 f (x,v) ，引入中间变量 u，记为 f (u,v)
则 z 是 u, v 的二元函数，u 是 x 的一元函数，v 是 x, y 的二元函数。
蓝色是标准的链式法则。
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题目
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题目重新抄一遍。
因为我不习惯对 g 求导，所以引入因变量 z，改为对 z 求导。
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计算 z 对 x 的一阶偏导数，二阶偏导数。
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计算 z 对 y 的一阶偏导数，二阶偏导数。
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计算得到答案。
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一种题型的总结。
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这个题目还有好几种写法，下面会附上图。
下图是题目的第一种写法。
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答案。
等式两边对 x 求导。
注意：复合求导，链式法则。
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题目的第二种写法。
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以前写的答案。
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题目的第三种写法。
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以前写的答案。
微分解法。
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上个楼层121楼，讲的一阶的情况。
这个楼层讲解二阶的情况。
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题目
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答案。
和121楼类似，等式两边对 x 进行求导。
注意：复合求导，链式法则。
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再对一阶偏导数的等式两边对 x 进行求导。
得到方程组。
二阶混合偏导数连续，所以相等。
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题目
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这种题目硬算吧。答案选D
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题目重抄一遍。
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对第一个位置变量和第二个位置变量，分别求对 x 和对 y 的偏导数。
这个在后面会用上。
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下图使用的是隐函数求导的方法。
你可以改用直接求导的解法，或者使用微分的解法，这两种解法这里略过。前面的楼层已经有很多例题了。
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求二阶导，这里用求导的解法。
下图3到5行，是乘法的求导公式。
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题目
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使用105楼和106楼的理论，请先看懂105楼和106楼。
这种类型题目的解法都是固定解法。
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书本答案，我的答案在后面。
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这里会使用105楼的理论。
(1) 计算一阶
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这里会使用106楼的理论。
(2) 计算二阶
下图倒数第二行，因为 x 和 y 是自变量，所以不会恒等于零。
在微分方程中，只要因式不会恒等于零，就可以约分。
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大佬好强我今年考研有好多问题不知道能不能请教下

题目
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连续定义，得 f(0,0)=0
极限保号性。
极小值。
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当 a = 1/2 时，不一定是极小值。
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书本答案。
这个答案不容易理解，还是看我上面的答案吧。
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题目。
对原题目改一下，增加f(x,y)在(0,0)处连续的条件。
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答案是D，非极值点。
证明过程看后面。
找到 f(x1,y1) > f(0,0), 再找到 f(x2,y2) < f(0,0)
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另一个题目。
也是非极值点。
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证明 f(0,0) = 0
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取特殊路径。
用极限保号性，证明在这条特殊路径上，f(x,x) > f(0,0)
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取特殊路径。
用极限保号性，证明在这条特殊路径上，f(x,-x) < f(0,0)
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第二题。
书本答案，我的详细答案在后面，我的答案更容易理解，可以直接看我的答案。
下图的红色是极限的定义，取 ε = 1/2。
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第二题的证明过程，和第一题完全一样。
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0/0 才有极限。
连续定义。
得到 f(0,0) = 0
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再利用最后两图，证明在 (0,0) 的邻域内，
有一部分值一定大于 f(0,0)，
并且有另一部分值一定小于 f(0,0)，
所以不是极值。
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取特殊路径，极限保号性，得到 f(x,0) < f(0,0)
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取特殊路径，极限保号性，得到 f(0,y) > f(0,0)
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这里讲一下怎么区分因变量和自变量。
一个方程确定一个因变量。
用一下85楼的题目。
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y=f(x，t) 是一个方程，所以确定一个因变量。这个方程是显函数。
F(x，y，t)=0 是一个方程，所以确定一个因变量。这个方程是隐函数。
注意：t=t(x，y)并不是一个方程。
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一共三个变量x，y，t。
其中两个方程确定两个因变量，所以剩下一个自变量。
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所求的结果dy/dx，指明了x是自变量，y是因变量。
所以剩下的 t 只能是因变量，所以 t 是 x 的函数。
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综上所述：
1. 几个方程确定几个因变量。。。隐函数或显函数是方程。
2. 题目所求结果会告诉你另一些条件，会指明哪些是因变量，哪些是自变量。
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