回复：二重极限, 多元函数连续性, 可微定义, 偏导数定义

题目和答案
这个题目贴吧问的人也不少。
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后面有我的解析过程。
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F(x,y,z) = 0 一个方程只能确定一个因变量。
所以 z = z(x,y), y = y(z,x), x = x(y,z) 这三个隐函数，在同一个时间上有且只有一个隐函数能成立。
如果你把 z = z(x,y), y = y(z,x), x = x(y,z) 这三个隐函数理解为在同一时间上同时成立，那说明你没学到家。。。因为 z 不可能同时既是自变量，又是因变量。。。x 和 y 同理。
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例如：
在求 ∂z/∂y 时，因为 z 对 y 求偏导数，所以 z 是因变量，y 是自变量，又因为求的是偏导数，所以至少要有两个自变量，所以 x 也是自变量。。。汇总之后，就是 z 是 x 和 y 的二元函数。。。也就是 z = z(x,y)
所以在下图等式两边对 y 求导时，将 x 看成常数。
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弄懂 ∂z/∂y 的求解过程，剩下两个偏导数同理，不难，过程这里省略。
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题目
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选项A和选项B，后面会给出证明过程。
选项C，反例，令 f(x,y) = x, 则 y = kx 极限和 k 有关。
选项D，反例，令 f(x,y) = x^2, 则 y = kx 极限和 k 有关。
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下图是可微定义，先去看懂29楼的证明过程。
存在某个常数A和某个常数B，使得下图的极限等于零，则f(x,y)在(0,0)处可微。
一般比较常见的是： A = 0，B = 0
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选项A的极限等于零，证明可微。
0/0才有极限，在5楼有讲，先去看懂5楼的证明过程。
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0/0才有极限，加上连续定义，得 f(0,0) = 0
第七行到第十行，无穷小量乘以有界量。
凑可微定义，证明可微。
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选项A的极限不等于零，则不可微。
0/0才有极限，加上连续定义，得 f(0,0) = 0
偏导数定义。
左导数和右导数互为相反数，但是不等于零，所以左导数不等于右导数，所以偏导数不存在。
偏导数不存在，所以不可微。
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选项B的证明过程。
0/0才有极限，加上连续定义，得 f(0,0) = 0
0/0才有极限，凑可微定义。
选B
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请先看懂78楼。
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这个楼层强调一点：
题目给了 f 的二阶偏导数连续，所以二阶混合偏导数 f ''12 和 f ''21 相等。
在答案中，请将两者合并为一项。
78楼忘记合并了，在楼中楼进行了补充。
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题目：
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一阶偏导数。
注意：
蓝色要复合求导。
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二阶偏导数。
注意：
蓝色要复合求导。
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二阶偏导数。
注意：
蓝色要复合求导。
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可以看到，z 对于 x, y 的二阶混合偏导数相等。
就是上图的结果和下图的结果一样。
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题目
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这个题目告诉我们，同样的方程组求同一个偏导数，但因为因变量和自变量的不同，求出来的偏导数是不一样的。
所以在求偏导数的时候，一定要先用已知条件明确哪些是自变量，哪些是因变量。
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题目重新抄一遍。
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下图隐函数 z = z(x,y)，所以 u, z 是因变量，x, y 是自变量。
所以对 x 求偏导数时，将 y 看成常数，对 z 复合求导。
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下图隐函数 y = y(x,z)，所以 u, y 是因变量，x, z 是自变量。
所以对 x 求偏导数时，将 z 看成常数，对 y 复合求导。
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几种偏导数写法的区别。
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下图蓝色(1)的写法：当 f 后面的括号内的字母全部都是单个字母时。
下图蓝色(2)的写法：当 f 后面的括号内的字母不全部是单个字母时，也就是除掉蓝色(1)剩下的其他全部情况。
蓝色(2)里面的Ax, By只是一个代号，实际上我想表达的是除掉蓝色(1)剩下的其他所有情况。
例如： f(x+y, y), f(2x, y), f(x, 3y), f(x^2, y), f(x, y^3) 这些都是。
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蓝色(1)，所有的写法都是等价的，都可以用简写。
蓝色(2)，∂f / ∂x 是特殊的，在76楼和77楼里面有详细讲解。剩下其他的写法是等价的。
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注意：
通过对比蓝色(2)和蓝色(1)，可以发现蓝色(2)里面，只有 f '1(Ax, By) 可以简写为 f '1，而f 'x(Ax, By) 和 f x(Ax, By) 因为容易引起歧义所以一般不用缩写。
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全部看完了 真是太牛了 感谢楼主

一类题型的总结
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底数或底数极限，大于零，并且小于等于M，并且M < 1
指数极限是正无穷大。
则幂指函数的极限是零。
下面会给两个例题。。。看一下例题就能明白我给的已知条件长啥样了。
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先证明一个引理。
1/f(x) 是有界量，1/g(x) 是无穷小量。
有界量乘以无穷小量。
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下图是例题一
第一行，题目
第二行到第四行，均值不等式。
第五行第六行，利用 x^k 的单调性。
第七行第八行，夹逼准则。
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下图是例题二
第二行第三行，取对数。
第四行第五行，均值不等式，不等式放缩。
第六行第七行，利用最上面的引理。
第八行，利用 e 的负无穷次方极限为零。
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一般书本是用 偏导数连续 来代替 连续可偏导。。。因为 连续可偏导 这个词很不常见。
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连续可偏导，这五个字连在一起，是偏导数连续的意思。
连续可导，这四个字连在一起，是导数连续的意思。
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题目
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u 对 r 的偏导数等于零，说明 u 对 r 来说是个常数，也就是 u 不含有 r。
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u 是因变量。
x, y, z 是中间变量，是因变量。
r, θ, φ 是自变量。
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这里只写 x,y,z 对 r 的偏导数的计算过程。求导时，将θ, φ看成常数。
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就是求偏导数。
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就是求偏导数。
最后令等式等于 t 代进去。
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已知 f(x,y) 在 (0,0) 处的二重极限存在，极限值等于 A。
已知 f(x,y) 在 (0,0) 处有定义，函数值等于B。
已知 g(x,y) 在 (0,0) 处有定义，函数值等于零。
已知 g(x,y) 在 (0,0) 处可微。
求证：
f(x,y) * g(x,y) 在 (0,0) 处可微。
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题目如下：
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定义 h(x,y) = f(x,y) 乘以 g(x,y)
证明 h(x,y) 在 (0,0) 处连续。
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定义 h(x,y) = f(x,y) 乘以 g(x,y)
证明 h(x,y) 在 (0,0) 处的偏导数存在。
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使用29楼的可微定义，证明 h(x,y) 在 (0,0) 处可微。
下图是详细过程。
第二行，可微定义的极限表达式。
第三行，代入 h(x,y) 在 (0,0) 处的函数值，代入 h(x,y) 在 (0,0) 处的偏导数的数值。
第四行到第六行，极限四则运算法则，拆开极限。
第四行的第二项，因为 g(x,y) 在 (0,0) 处可微，所以极限是零。
第七行第八行，无穷小量乘以有界量。
第九行，证明 h(x,y) 在 (0,0) 处可微。
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补上159楼的书本题目的截图。。。
解题过程见159楼。
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题目
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因为 z 的绝对值和 z平方的最值点是一样的，所以我们改为求 z平方的最值。
拉格朗日乘数法。
先求出 y = x，然后代入(4)和(5)，解 x 的一元二次方程。
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题目
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简便解法，选择填空题可以使用。
计算另一个二阶混合偏导数，计算相对简单。
使用上图的【注】，利用二阶混合偏导数连续得到相等，就能得到答案。
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正常解法。
被积函数含有求导变量 x ，换元法。
换元之后，被积函数就不再含有求导变量 x ，然后可以使用变限积分求导公式。
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