没人看吗？自己顶一下

有理数之前都比较好弄。到实数这一块是大学的内容，有一门叫数学分析的课里边会教实数的知识。由于中小学生数学能力有限，而且中小学知识以实用为主，不需要很严谨，很多东西就感性地认知一下实数，然后直接使用到计算当中就可以了。
把一个无理数定义成有理数集的一个分割是可以的，你只要搞清楚实数的定义，加减（大小）的定义，那么整个东西的逻辑是没问题的。但理解实数最好的办法不是用分割，而是用完备化。如果你手上只有整数，你要怎么定义有理数呢？这个大家基本上都会，就是比值。那如果你手上有了有理数，要怎么定义实数呢？通常我们会用完备化去定义实数。
这个步骤大概是这样：首先定义“柯西数列”（里边每一项都是有理数，因为目前你手上只有有理数）。然后定义柯西数列的等价类，两个柯西数列{an}，{bn}等价，如果{an-bn}的极限是0。 然后把这些等价类称为实数。
简单地说就是有一种数列似乎应该是有极限的（叫柯西数列），但却没有极限。这让整个数轴显得很不完整（不完备）。我们需要把这些极限补上才能使数轴完备，这个过程叫完备化。补上去的这些点叫无理数。
你用分割去考虑的话最终会得到和完备化一样的集合。只是完备化更直观。现在数学分析的书都是采用柯西数列，极限，完备化这个办法。
在知道了什么是实数以后（不管你是用完备化还是用分割），加减乘除的运算，比大小之类的各种各样的东西都是自然而然就能从有理数推广到实数。

数学分析，请。
严格的论证这个问题不是一篇回复就能概括完全的

如果0.999……＝1，那么是不是可以理解0.9999………8＝0.9999………＝1，所以0＝1＝99999………？

无理数大小比较建议化为小数

这里面是用有理数的无穷集合来定义实数。注意集合的元素是有理数，所以这是可以构造的，不依赖于无理数的性质。任意取两个按照戴德金分划所构造的集合a和集合b，一定有三种情况之一：a是b的真子集，b是a的真子集，a=b。这就定义了一个排序关系。等于说任意两个实数是可以比较大小的。

数学分析第一页有，自己去看吧

先定义零和加一操作，以此为基础定义出自然数集（皮亚诺公理系统）。再定义出一般意义的加减法，用自然数的减法定义出整数集。再定义出一般意义的乘法和除法。用整数的除法定义出有理数。再用有理数的无穷集合定义出实数。定义乘方开方运算。再推广到复数。

去问柯西。

首先思考一下一个集合怎样才能叫做“能够比较大小”？
例如自然数集能够比较大小是这么一回事 想象存在一台机器（__□__） 你往机器的左右两边放上两个自然数 机器中间就会显示≤或不显示 且这个机器要满足这三个规律
1.当机器左右两边放一样的数时 必须要显示≤ 例如5≤5或99≤99
2.如果你知道数A和数B放上去会显示≤ 也知道了数B和数C放上去也显示了≤ 那么数A和数C放上去必须显示≤ 例如3≤5和5≤9可以推出3≤9
3.当你知道数A和数B显示≤ 但是换个位置后数B和数A也显示≤ 那么数A和数B其实是一个数 例如6≤9 换个位置9≤6显然不对
正因为有这台机器 我们才能说自然数可以比较大小
现在假设你构造出来了负数（也定义好了相反数）
然后你在机器的左边放3右边放-5 这台机器现在失灵了 因为这台机器只能处理自然数集处理不了负数 所以我们要以这台自然数机器为基础去构造整数机器
做法就是 注意我们要保证整数机器的两边无论放自然数或负数机器都能显示≤或不显示≤ 分四种情况讨论
1.当两边都是自然数时完全安装自然数机器去显示或不显示
2.当左边是负数右边是自然数时就显示≤
3.当左边是自然数右边是负数时不显示≤
4.当两边都是负数时 整数机器的结果与这两个负数对应的自然数（相反数）放到自然数机器里显示的结果相反即可
这样无论机器左右怎么放整数都能告诉我们是否≤了 但是我们还要说明这个机器满足上面那3条性质才能完成这个整数机器的构造 然后我们就可以说“整数也是可以比较大小的”
同理 整数机器可以构造有理数机器 有理数机器可以构造无理数机器
具体怎么构造的 看一看《陶哲轩实分析》的前100页即可

有理数是全序集

因为每个实数你都是用戴德金分割A｜B定义的，其中A我们假定为较小的那个集合，对于A｜B和A‘｜B’这两个实数，直接定义A包含于A‘表示A｜B 小于等于A’｜B‘就行了