那么ω→ω→ω^2+2(二级对角化)怎么表达呢？
先根据其增长率信息转换成BEAF数阵把其摊开成{ω，ω，2，1，2}。
再转换成取极限形式sup{n∈ω|{ω，n，2，1，2}。
分别计算{ω，2，2，1，2}，{ω，3，2，1，2}，{ω，4，2，1，2}，…
计算{ω，2，2，1，2}={ω，ω，1，1，2}
这个即原来的ω→ω→ω^2+1(二级对角化)
接着计算{ω，{ω，ω，1，1，2}，1，1，2}。
即就是取第ω→ω→ω^2+1(二级对角化)个a→α目一级对角化康威链不动点。设f(x)表示枚举这个不动点函数，则ω→ω→ω^2+2(二级对角化)=α→f(α)。
其实这些在后继序数时直接不动点一级一级推就行了。重点在于处理极限序数的情况。
我们再考虑二级对角化在ω^2+ω的情况。
还是转换，变成{ω，ω，ω，1，2}。那是，我们先举前面的例子，ω→ω→ω→ω写成数阵是什么，{ω，ω，ω，2}，接着ω→ω→ω→ω+1又变成什么，{ω，ω，ω+1，2}是吗？所以我们就可以知道对角化是怎么的规律，从数阵可以看出，也就是从第三个数开始，出现极限序数就要对角化。
那么二级对角化ω^ω+a中a取ω+1阶不过只是对应于{ω，ω，ω[ω+1]，1，2}，假设一种OCF基于表达ω→ω→ω^ω+a的二级对角化，那么这个具备一级对角化运算形式的BEAF数阵{ω，ω，ω+1，1，2}用这个OCF就会表示成f(Ω)，{ω，ω，ω+2，1，2}=f(Ω^2)，…。类似的，{ω，ω，1，2，2}就会是这个的Catching point即f(Ω_ω)。
接着，我们就可以看出在二级对角化的时候，ω→ω→ω^2+(1+k)ω+1是用OCF表示关于ω→ω→ω^2+kω+a函数的Catching point。
那么ω→ω→2ω^2后怎么处理。
还是照大ω康链的那般形式去处理。
首先来到{ω，ω，ω，ω，2}，看看是从哪里sup到的，对，{ω，ω，ω，n，2}。
然后就会有表达式{ω，ω，ω，ω[ω+1]，2}，就是在表达了{ω，ω，ω，a，2}中a在第ω+1阶的情况。使用对角化后，{ω，ω，ω，ω+1，2}就表达了α→{ω，ω，ω，ω[α]，2}，。然后又有{ω，ω，1，1，3}是表达式{ω，ω，ω，α，2}的Catching point。
所以可以总结一个规律，二级对角化就是极限增长率上加1，就直接变成“该极限序数的基本列对应的二级对角化的结果数列”的Catching point。
比如ω→ω→ω^3+1的二级对角化就是f(a)=ω→ω→ω^3[α]的Catching point点，设一个f(x)为枚举ω→ω→ω^3[a]的函数，其规则与OCF一样，那么ω→ω→ω^3+1用这个表示就是f(Ω_ω)，每隔一个ω^2就是这个表示法相当于LRO序数的存在。
二级对角化的ω→ω→ω^ω可以视作该版本的SVO，ω→ω→ω^ω+1则是该版本的LVO。

从以上的规律我们可以得出，对于二级对角化可以这么理解:
设极限序数α=sup{x∈ω|f(x)}。
那么设g(x)枚举ω→ω→f(x)的函数其形式与OCF一样，那么二级对角化的ω→ω→α+1用这个OCF函数表达就是g(Ω_ω)。
那么如果我们进入四目的二级对角化康威链又如何？
首先ω→ω→ω→2表示α是ω→ω→α的不动点。利用嵌套直接按部就班就行了，直接爬到ω→ω→ω→ω，那这上面我们又如何理解呢？如何理解二级对角化下的ω→ω→ω→ω+1？
先回顾一级对角化，ω→ω→ω到ω→ω→ω+1是变成α为ω→ω→ω[α]的不动点，ω→ω→ω→ω到ω→ω→ω→ω+1是变成α为ω→ω→ω→ω[α]的不动点。
所以ω→ω→ω→ω+1是枚举ω→ω→ω→α形成Catching，设ω→ω→ω=f(0)，ω→ω→ω→2=f(1)，如果该f(x)具有OCF的迭代模式，那么ω→ω→ω→ω+1=f(Ω_ω)。同样的，ω→ω→ω→ω→ω+1又是ω→ω→ω→ω→a的catching。
{ω，ω，ω，ω+1}是ω→ω→…→ω(a个ω)的Catching。
{ω，ω+1(1)2}是{ω，ω，…(a个ω)}的Catching。
所以二级对角化这样的模式，我们可以叫做Catching进位。
上面的二级对角化中，ω→ω→ω→2具有ω+1级增长率，所以换算成三级对角化时是ω→ω→ω+1，同理，ω→ω→ω→ω换算成三级对角化是ω→ω→2ω。

当然，其实，我觉得大ω康链由于比较容易理解，所以并不算是二级对角化的真正体现部分的开始，应该从ω→ω→ω^2+1开始。
再来讨论二级对角化部分ω→ω→ω^2到ω→ω→ω^2+1的跨越有多大，这部分可以说简直是在玩死OCF。
首先，回顾上面的{ω;0，ω}=LRO，{ω;0，ω+2}=Cψ(Ω_ω)。
那么{ω;0，ω+3}=？由于可以转化为{(ω+3);0，0}，所以=Cψ(λ)，其中λ满足ψ(λ)=C(Ω_ω)。
先说下为什么{ω;0，ω}=LRO，可以这么理解，{1;0，0}=BO，{2;0，0}=C(Ω_ω)，而{3;0，0}=f(Ω_ω)(f是关于{α;a，b}的OCF函数)，每一级都在对前者进行FGH式递归，所以{a+1;0，0}在表示{a;b，c}的OCF中表示为f(Ω_ω)，{a+2;0，0}又是其f(λ)(λ满足ψ(λ)=C(Ω_ω))，在ω处这些OCF对应的基数会被抹平，由OCF和C函数的交点是LRO。所以{(ω);0，0}即{ω;0，ω}=LRO。进而得{(ω);a，b}是用来枚举OCF和C函数的交点的FGH。
其实三元增长率函数是我更早的记号。作用可以说就是用来枚举Catching point。
继续回到原来的问题，{ω;0，2ω}就是Cψ(λ)，其中λ满足ψ(λ)=LRO，{ω;0，3ω}=Cψ(λ)，其中λ满足ψ(λ)={ω;0，2ω}，进而我们就有{ω;0，ω^2}就是C₂(0)(这是其他人的记号，Cn表示Cn-1与ψ函数的交点)，为枚举OCF和C函数的交汇点的与OCF的交汇点。
类似的有{ω;0，ω^3}=C₃(0)，{ω;0，ω^ω}=Cω(0)，{ω;0，ε0}=C_ε0(0)。
{ω;0{ω;0，ω}}=C_LRO(0)。
{ω;1，ω}=C_Ω(0)。
接着，{ω;ω，ω}=C_Ω^ω(0)。
{ω;ω+1，ω}=C_Ω^Ω(0)。
{ω;ε0，ω}=C_ψ(ψ_1(0))(0)。
可以得出{ω+1;0，0}=C_Ω_ω(0)。
也就是说，需要Ω_ω阶Catching函数(其中阶具有OCF迭代模式)才能表示三元增长率的{ω+1;0，0}，也就是二级对角化下的ω→ω→…→ω→2。
接着就是Catching函数接受降维打击的部分。
{ω+1;0，1}=C_Ω_Ω_ω(0)
{ω+1;0，ω}=C_ψ_I(0)(0)
{ω+1;0，α}=C_λ(0)，其中λ有C(α)=ψ(λ)
最终在{ω+1;1，ω}处使得ψ函数和Catching阶数迎来大一统。
从{ω+1;0，0}开始，一切都恢复正常。
而到了{ω+ω;0，0}就又开始混乱了。
但我们还是能接着知道这个大坎是怎么过的，{2ω+1;1，ω}就又是Catching阶数大一统点的枚举与ψ函数达成大一统。我们称为这是第二回大一统。
大一统的次数达到不动点了，就是ω→ω→ω^2+1。
可见二级对角化的ω→ω→ω^2+1有多大。
其实，二级对角化是f(Ω_ω)进制的说法并不太准确，而是“大一统回合不动点”进制。

这我们可以称之为FGH序数模式。
鉴于这些很多人都不知道怎么搞，我来解释一下。
当然，为了理解二级对角化有多恐怕。
我们需要得从三元增长率序数为基础，继续扩展多元增长率序数。
定义四元增长率函数:
{a;b，c，d}。
1，a，b，c遇到极限序数需要对角化。
2，这个函数每迭代一次c加1。
3，每到不动点的向前一级进位。
4，d枚举第1+d个这样的点。
上述ω→ω→ω^2+1就能表示成{1;0，0，0}，我们可以管他叫做增长率阶数不动点，也可以称为HBO(和BO类似，BO是三元，为增长率不动点，而该序数是四元，是增长率阶数不动点)。
接着{0;{1;0，0，0}+1，ω}必然跳的很多，很大可能{1;0，0，0}也是个以ω结尾的大可数序数，而上面这个会直接跳到Ω阶，这个定义复杂度会远远比从ω阶稳定链变成Ω阶稳定链复杂的多了，更比从BO变成ψ(Ω_Ω)还复杂。
{{1;0，0，0}+1;0，0}就又是一种类似BO的玩意。直到α→{α;0，0}了就是{1;0，0，1}，当然，这个序数应该已经大到无边了，下面接着开始进行FGH模式。
设一种OCF用于基于表达{1;0，0，a}的玩意，那么{1;1，0，0}显然就会被表示成f(Ω_ω)，{1;0，{1;1，0，0}+1，ω}=f(Ω_Ω)，{1;ω，0，ω}就会又表示成f(ω-π-Π0)(可理解为相当于{1;}的LRO序数)，因为{1;ω，}是具有对角化特殊作用的，所以{1;ω，0，ω+1}表示是第ω+1阶的{1;a，0，0}，而不是第ω+1个{1;N}的不动点，然后又到{2;0，0，0}，表示{1;}的不动点，应该相当于f(λ)，其中λ满足ψ(λ)={1;0，0，0}，当然，再分析下{2;0，0，1}这玩意要经过哪些步骤。
首先是f_{2;0，0，0}+1(ω)，应该是个极大的突变，然后有{1;0，{2;0，0，0}+1}，{1;{2;0，0，0}+1，ω}，{2，0，{2;0，0，0}+1}，{({2;0，0，0}+1)，0，0}，{{2;0，0，0}，0，ω+1}(当然，我也建议把这样的对角化写成α，取第ω+α项这样更美观)，{{2;0，0，0}，1，ω}，{1;0，0，{2;0，0，0}+1}，{1;({2;0，0，0}+1)，0，0}，{1;{2;0，0，0}，0，ω+1}，{1;{2;0，0，0}，1，ω}，{1;{2;0，0，0}+1，0，0}。
这些操作应该够OCF和各种与ψ交点表示函数来弄吧。
到{ω;0，0，ω}(此处第四元上的ω需要对角化)应该就是这个f与ψ的交汇点了，0位参数每乘个ω就是描述他的OCF新的与ψ的交点。然后就是一顿翻天覆地的变化后，我们便就到了α→{α;0，0，0}，这就是二元对角化的ω→ω→ω^3+1，也可以称之为三级的BO序数。
还可以定义多元增长率函数，其中除了0位参数外，其他都需要对角化。
比如{1@4，1}就是{1;0，0，0，1}。是第二个α→{α@3}。
当然，其实{1;0，0，0，1}里面很可怕。
先有{{1;0，0，0，0}+1，ω}，就这个就是ω变Ω，如果在搞函数的方式中来完成这步就是十分复杂。然后就有{{1;0，0，0，0}，0，n}，因为{1;0，0，0，0}本身也是极限序数，所以也要进入对角化操作，零位上改为ω+1就恐怖如斯了，原来的ω步基本列会变成实际的第ω+1项。就像{{1;0，0}，ω+1}是ψ(Ω_(ω+1))一般。还有{{1;0，0，0，0}，0，0，n}这种。然后才能到{1;0，0，0，1}。
同样的，便就有{2;0，0，0，0}，{1@5}这样的，对应到二级对角化的2ω^3+1和ω^4+1级别，{ω@n，ω}都是枚举{1@n，α}的OCF函数与ψ的交点，当然，可能{2@n，α}就足够了。
然后{1@ω}就是大ω数阵，这是ω级的BO序数。{1@ω}后面可就麻烦了，还是先有{1@(ω)，1}，是{1@ω}+1经过前面的各种自然数元增长率序数构造的极限，当然，{1@ω}的对角化就足够答辩，{ω@(ω)，ω}自然是枚举{1@(ω)，α}的OCF与ψ函数的交点，然后才是真正的{1@ω，ω+1}({1@ω}此处的ω需要对角化)，进而要来到{1@ω，1@n}，最后就来到{2@ω}，然后{2@ω}需要代入{1@ω，}系列中完成对角化，才能有{2@ω，n}这样的。
然后才到ω→ω→ω^ω+1
应该每个在n元增长率序数上有名的序数都是以ω结尾的很大的序数吧。

其实我也总结了增长率序数的各种性质:
1，如果α是极限序数，且fα(ω)在ψ序数是以ω收尾的序数，则fα+1(ω)在ψ序数中为将前者的ω转换为Ω的结果。
2，α是后继序数，则fα+1(ω)在ψ序数中只需要乘上Ω。
3，α是极限序数，如果fα(ω)为塔型不动点，则fα+1(ω)为替换成第Ω个不动点的结果，在BOCF上看则只需要乘以Ω。
4，增长率序数的构造在ψ序数中，仅有自然数和ω，Ω等的乘积，没有诸如ω+1这样的构造。
5，极限增长率要么以ω收尾，要么以Ω₂及以上的序数或塔型不动点收尾，不可能以Ω收尾，以Ω收尾都是后继增长率。
6，n重增长率不可能以Ω~Ωn之间的序数收尾。至少是Ω_(n+1)。
7，f_ψ(h(Ω_n))(ω)=ψ(h_(Ω_(n+1)))
8，增长率不动点在ψ中均以ω结尾或者是塔型不动点结尾，不可能以Ω_n(n∈N，n<I)结尾。

虽然在ω→ω→ω^ω+1时增长率序数就达到极限了，但是，这也是只能摸到二级对角化的冰山一角。后面还有ω→ω→ω^ω+2，ω→ω→ω^ω+ω+1，ω→ω→ε0那样的东西，已经是超过多元增长率序数所能表示的范畴更超越xx阶Catch。只有y序列或者BMS才能描述这个序数，可能已经抵达Y(1，6)了(对于LRO后面的序数还不怎么理解，未能分析这些玩意有多大)。
那么接着怎么理解ω→ω→ω^ω+2
还是拿出{1@(0)0}这东西吧。
首先进入{1@(0)0}+1，{0，{1@(0)0}+1，ω}(这个在迭代函数的方面上会是个极大的突变点，ω变Ω，此时OCF应该就要用到高阶稳定基数了)，如果设{1@(0)0}=某个f(x)的第ω项，接着{1，0，{1@(0)0}+1}，{({1@(0)0})，0，1}，{({1@(0)0}+1)，0，0}，{{1@(0)0}，0，ω+1}(即{f(ω+1)，0，ω})，{{1@(0)0}，1，ω}，{1@3，{1@(0)0}+1}，{1@4，{1@(0)0}+1}，{1@(ω)，{1@(0)0}+1}，{1@ω，{1@(0)0}+1}，{1@({1@(0)0})，1}，{1@{1@(0)0}，ω+1}，{1@{1@(0)0}，1@1}，{1@{1@(0)0}+1}，{1@{1@{1@(0)0}+1}}，{1@(0)1}，直到α→{1@(0)α}，就是ω→ω→ω^ω+2，以上类似我扩展的φ序数，可写作{1@(1)0}。
到达{1@(ω)0}了又是大变化，可以设{1@(0)α}能在某种OCF表示成f(α)，{1@(1)0}用这个就是f(Ω)，{1@((0))0}=f(Ω_ω)，接着在{1@(((0)))ω}处即抹平，注:里面出现极限序数，只要不是0位参数通通都要对角化。
然后{1@(1，0)0}就是二级对角化的ω→ω→ε0，当然，准确写法应该是{1@(1，0)ω}。

那么怎么从{1@(ω)0}变成{1@((0))0}呢？
首先是{1@( ω )0}(这个ω不用来做为对角化记号，直接计算)，可以考虑到{1@(ω)0}是某种序数表达式的取极限，取到第ω项，如果把这个表达式记为f_n，那么{1@(ω)0}就记作f_ω，那么{1@(ω)0，ω+1}就是f_ω+1，{1@(ω)0，1@1}就是f_不动点，这些不动点于是被{1@(ω)0，n@1}给折叠了，接着就到{1@(ω)0，1@n}，中间的{1@(ω)0，ω@1}是最麻烦的阶段，他直接着相当于实际的{1@(ω)0，n@1}的堆叠，直到{2@( ω )0}，{1@{1@( ω )0+1}}乃至{1@(0){1@(ω)0+1}}，然后才是{1@( ω )1}，接着有非对角化的{1@(ω+1)0}，在非对角化的形式中，里面达到f_ω+1时，才能演变成对角化形式的{1@(ω)0，ω+1}(ω+1位于0位参数)，达到f_α才能演变成{1@(ω)0，α}，接着继续复杂的步骤，才是真正的{1@(ω+1)0}(对角化形式)，最后到α→{1@(α)0}才是二级对角化的ω→ω→ω^ω+ω+1。
类似的，可通过我定义的φ序数类比，α→{1@((0)α)0}为二级对角化的ω→ω→ω^ω+2ω+1，α→{1@((0)(0)α)0}为二级对角化的ω→ω→ω^ω+3ω+1，α→{1@((0)…α项)0}是ω→ω→ω^ω+ω^2+1(注，其中α项，还是()里面来极限序数，通通都需要对角化)，
α→{1@((1)α)0}是ω→ω→ω^ω+ω^2+ω+1，后面你就知道怎么弄了。
其实，我们可以用对角化序数模型来魔改序数函数，就可以得到二级对角化。
先从φ函数开始，φ(ω，n)要定义成φ(ω[n]，n)，一个对角化序数版的φ函数就定义完毕了。
那么能不能把这个对角化序数计算方式弄进OCF里面去呢？这样就可以很方便的理解二级对角化了。
我们先从ψ(Ω^ω)开始，φ(ω，n)在ψ函数怎么表示呢？就是ψ(Ω^ω×n)是吗？没错，定义ψ(Ω^ω×n)=ψ(Ω^(ω[n]))，完毕，就这么改。

继续再思考下用扩展φ函数为基础的对角化序数版本(其实如果把他的OCF良定义化出来，就可以很好的理解二级对角化了):
首先有{{1@(0，0)0}，ω+1}，{1@(0，0)0}很大可能是个塔形不动点，因为他的二级对角化下增长率是ε0层次，所以我们可以称之为二级对角化版的BHO，类似大小ω康链，该序数可叫做大BHO，可命名LBHO，而不是以ω结尾的序数，所以{{1@(0，0)0}，ω+1}相当于实际没有对{1@(0，0)0}中的迭代符对角化的{1@({1@(0，0)0}+1)0}，接着就有{0;{1@(0，0)0}+1，ω}，相当于替换成第Ω个这样的塔型不动点，而从BOCF上看，大致也是很平凡只是乘了个Ω。
中间就会经过{1;0，{1@(0，0)0}+1}(注，极限序数阶都是特殊的，需要对应层次达到α阶，零位参数才变成α，所以sup{f_n(α)}与f_ω(α)是不同的两个序数，{1@n;{1@(0，0)0}+1}，{1@({1@(0，0)0})，1}，{1@({1@(0，0)0}+1)}，{1@{1@(0，0)0}，ω+1}(上述括号里面达到{1@(0，0)0}中第ω+1个这样的序数)，{1@{1@(0，0)0}，1@n}，{2@(0，0)0}，{1@{1@(0，0)0+1}}，{1@(0){1@(0，0)0}+1}，{1@(ω){1@(0，0)0}+1}，{1@((0)){1@(0，0)0}+1}，{1@(((0))){1@(0，0)0}+1}，{1@({1@(0，0)0})1}(里面的序数是数字化)，里面的括号还是直到LBHO的ω+1项，才是{1@(0，0)ω+1}。
由于f_ε0+1(ω)实际是ψ(ψ_1(Ω))。
所以{1@(0，(0))0}才是二级对角化的ω→ω→ε0+1。
{1@(0，(0)(0))0}则是ω→ω→ε1+1。
{1@(1，0)0}则是ω→ω→ζ0。
{1@(ω，0)0}则是ω→ω→φ(ω，0)。
这个跳点就十分的大了。
{1@(ω，0)n}表示的是实际{1@(n，0)0}，其中n被ω给折叠了，里面的层次太复杂这里先不展开来。接着就有{1@((0)，0)0}，这就是二级对角化的ω→ω→φ(ω，0)+1，如果仿照扩展φ序数的思路接着走，{1@(1，0，0)0}就是二级对角化的ω→ω→Γ0，{1@(1@ω)0}就是ω→ω→SVO，这里的跨越是十分大的，可怕的是这个最里面的ω也需要对角化。到{1@(1@(0))0}就是ω→ω→SVO+1，最后这个表达式极限就是二级对角化的ω→ω→LVO。

那么二级对角化的LVO之上又如何理解?
需要增长率序数+OCF。
我们就定义个增长率序数版的OCF。符号Η(n)(H是希腊字母)，可看作是把ω扔进FGH里面。为一元或者二元函数。
定义1，Η(0)=ω，Η(0，n+1)=H(0，n)+1
2，H(n)=H(n，ω)
3，Η(1，n)=Η(0，)递归n次。
4，H(2，n)=H(1，)递归n次。
5，H(α)=H(α[ω]，0)=sup{x∈ω|H(α)}
6，如果α出现不动点，则α[ω+1]=α[ω]+1。
7，H(α，n)=H(α[n])。先定义到这里。
H(0)=ω(定义)，H(0，H(0))=ω+1
H(0，H(0，H(0)))=ω+2，
H(1)=ω+ω，H(1，ω+1)=2ω+1
H(1，H(1，ω))=4ω
H(1，H(1，H(1，ω)))=8ω
H(2)=ω^2，H(0，H(2))=ω^2+1
H(1，H(2))=H(2，ω+1)=2ω^2，
H(1，H(1，H(2)))=4ω^2
H(1，H(1，…H(2)…))=ω^3
H(2，2ω+1)=2ω^3
H(2，3ω)=ω^4，H(2，H(2))=ω^ω
H(2，H(0，H(2)))=2ω^ω
H(2，H(0，H(2)+ω))=ω^(ω+1)
H(2，H(1，H(2)))=ω^(ω+ω)
H(2，H(2，ω+2))=ω^4ω
H(2，H(2，ω+ω))=ω^ω^2
H(2，H(2，3ω))=ω^ω^3
H(2，H(2，H(2)))=ω^ω^ω
H(2，H(0，H(2，H(2))))=2ω^ω^ω
H(2，H(1，H(2，H(2))))=ω^(2ω^ω)
H(2，H(2，H(1，H(2))))=ω^ω^(ω+ω)
H(2，H(2，H(2，ω+2)))=ω^ω^4ω
H(2，H(2，H(2，H(2))))=ω^ω^ω^ω
H(3)=ε0，H(0，H(3))=ε0+1
H(1，H(3))=ε0×2，H(2，H(3))=ε0^2
H(3，ω+2)=ε0^ε0，H(3，ω+ω)=ε1
H(3，H(3))=εε0，H(4)=ζ0
H(0，H(4))=ζ0+1，H(1，H(4))=ζ0×2
H(2，H(4))=ζ0^2，H(3，H(4))=ε(ζ0×2)
H(4，ω+2)=εε(ζ0×2)
H(4，ω+ω)=ζ1，H(5)=φ(3，0)
H(ω)=φ(ω，0)，H(ω[ω]，1)=φ(ω，1)
H(ω[ω+1]，ω)=φ(ω+1，0)
H(ω[ω+2])=φ(ω+2，0)
H(ω+1)=φ(1，0，0)
H(ω，H(ω+1))=φ(φ(1，0，0)，1)
H(ω，H(ω+1)+1)=φ(φ(1，0，0)+1，0)
H(ω，H(ω，H(ω+1)))=φ(φ(φ(1，0，0)，1)，0)
H(ω+1，ω+ω)=φ(1，0，1)
H(ω+2)=φ(1，1，0)
H(ω+ω)=φ(1，ω，0)
H(ω+ω[ω+1])=φ(1，ω+1，0)
H(2ω+1)=φ(2，0，0)
H(ω^2)=φ(ω，0，0)
由于ω^2基本列都是极限序数，所以每一项都需要对角化:
H(ω^2[ω]+1)=φ(ω，1，0)
H(ω^2[ω+1])=φ(ω，ω，0)
H(ω^2[ω+1]+1)=φ(ω+1，0，0)
H(ω^2+1)=φ(1，0，0，0)
H(2ω^2+1)=φ(2，0，0，0)
H(ω^3)=φ(ω，0，0，0)
H(ω^3[ω]+1)=φ(ω，0，1，0)
H(ω^3[ω]+ω+1)=φ(ω，0，ω，0)
H(ω^3[ω+1]+1)=φ(ω+1，0，0，0)
H(ω^3+1)=φ(1@4),H(ω^ω)=φ(1@ω)
由于ω^ω的基本列是ω的幂，所以对角化时，此时需要乘以ω才能在ω^ω基本列上+1。
H(ω^ω[ω]+1)=φ(1@ω，ω)
H(ω^ω[ω]+ω)=φ(1@ω，ω@1)
H(ω^ω[ω]+ω^2)=φ(1@ω，ω@2)
H(ω^ω[ω]×2)=φ(2@ω)
H(ω^ω，ω+1)=φ(ω@ω)
H(ω^ω，ω+ω)=φ(1@ω+ω)
H(ω^ω+1)=LVO
H(ω^ω+2)=ψ(Ω^(Ω^Ω+1))
H(ω^(ω+1))=ψ(Ω^(Ω^Ω×ω))
H(ω^ω^2)=ψ(Ω^Ω^(Ω×ω))
H(ω^ω^ω)=ψ(Ω^Ω^Ω^ω)
H(ε0)=ψ(ψ₁(0))=BHO
H(ε0[ω+1])=ψ(ψ₁(0)×Ω)(利用定义6)
H(ε0[ω+1]×2)=ψ(ψ₁(0)^2×Ω)
H(ε0，ω+2)=ψ(ψ₁(0)^ω)
H(ε0，ω+ω)=ψ(ψ₁(1))
H(ε0+1)=ψ(ψ₁(Ω))，H(ε₁)=ψ(ψ₁(Ω+1))
H(εε0))=ψ(ψ₁(ψ₁(0)))，H(ζ0)=ψ(Ω₂)
H(ζ0[ω+1])=ψ(Ω₂×Ω)

因为这个OCF太难定义，先接着构造。
到H(ζ0)的分析就很粗糙了。
还是先看ψ(Ω₂)，里面是ψ₁(Ω₂)，就是ζ(Ω+1)，而ψ₁()相当于Ω的ε的迭代，ψ(Ω₂)的基本列是用ψ₁()迭代序数迭代ω次，每迭代一次基本列+1。那么H(ζ0+1)的含义就是将ψ₁()迭代Ω次。
继续分析:
H(ζ0，ω+2)=ψ(ψ₁(ψ₁(Ω₂)+1))=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂+1))
H(ζ0，ω+3)=ψ(ψ₁(ψ₁(ψ₁(Ω₂)+1)))=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂+ψ(Ω₂+1)))
H(ζ0，ω+ω)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×2))
H(ζ0+1)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω))
H(ζ0+2)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω)×Ω)
H(ε(ζ0+1))=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω+1))
H(ε(ζ0×2)+1)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω+ψ₁(Ω₂×Ω)))
H(ζ1)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×(Ω+1)))
H(ζ1+1)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω×2))
H(ζω)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω×ω))
H(ζω+1)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×Ω²))
H(ζε0)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×ψ₁(0)))
H(ζζ0)=ψ(Ω₂×ψ₁(Ω₂×ψ₁(Ω₂)))
H(φ(3，0))=ψ(Ω₂^2)
H(φ(3，0)+1)=ψ(Ω₂^2×ψ₁(Ω₂^2×Ω))
H(φ(3，1))=ψ(Ω₂^2×ψ₁(Ω₂^2×(Ω+1)))
H(φ(4，0))=ψ(Ω₂^3)
H(φ(ω，0))=ψ(Ω₂^ω)
到这里，φ(ω，0)的基本列是从φ(n，0)上去的，所以对应的，φ(n，0)中n+1基本列+1。
H(φ(ω，0)，ω+1)=ψ(Ω₂^(ω+1))
H(φ(ω，0)+1)=ψ(Ω₂^Ω)
H(φ(ω，1))=ψ(Ω₂^Ω×ψ₁(Ω₂^Ω+Ω₂^ω))
H(φ(ω，ω))=ψ(Ω₂^Ω×ψ₁(Ω₂^Ω×ω))
H(φ(ω+1，0))=ψ(Ω₂^(Ω+1))
H(Γ0)=ψ(Ω₂^Ω₂)，
H(Γ0，ω+1)=ψ(Ω₂^Ω₂×ω)
Γ0是由φ(φ(…))折叠而成，对应于ψ(Ω₂^ψ₁(Ω₂^…))，即H(Γ0+1)相当于这个折叠Ω次，得ψ(Ω₂^Ω₂×ψ₁(Ω₂^Ω₂×Ω))
H(φ(1，1，0))=ψ(Ω₂^(Ω₂+1))
可以发现H(f(Ω_n))=f(Ω_(n+1))的情形，与增长率序数能够很好的同步。
H(φ(1，ω，0)+1)=ψ(Ω₂^(Ω₂+Ω))
H(φ(2，0，0))=ψ(Ω₂^(Ω₂×2))
H(φ(ω，0，0)+1)=ψ(Ω₂^(Ω₂×Ω))
H(φ(1@3))=ψ(Ω₂^Ω₂^2)
H(SVO)=ψ(Ω₂^Ω₂^ω)
H(LVO)=ψ(Ω₂^Ω₂^Ω₂)
H(BHO)=ψ(ψ₂(0))，H(BHO+1)=ψ(ψ₂(Ω))
H(H(ε0+1))=ψ(ψ₂(Ω₂))，H(H(ζ0))=ψ(Ω₃)
H(H(ζ0)+1)=ψ(Ω₃×ψ₂(Ω₃×Ω)))
由于H(ζ0)自身也是极限序数需要对角化，所以H(H(ζ0)+1)需要将ψ₂()迭代Ω次。
H(H(ζ0+1))=ψ(Ω₃×ψ₂(Ω₃×Ω₂))
H(H(η0))=ψ(Ω₃^2)，
H(H(φ(ω，0)))=ψ(Ω₃^ω)
H(H(H(ω))+1)=ψ(Ω₃^Ω)
H(H(H(ω)+1))=ψ(Ω₃^Ω₂)
H(H(H(ω+1)))=ψ(Ω₃^Ω₃)
H(H(SVO))=ψ(Ω₃^Ω₃^ω)
H(H(LVO))=ψ(Ω₃^Ω₃^Ω₃)
H³(ε0)=ψ(ψ₃(0))，H(H²(ε0)+1)=ψ(ψ₃(Ω))
H²(BHO+1)=ψ(ψ₃(Ω₂))，H³(ε0+1)=ψ(ψ₃(Ω₃))
H³(ζ0)=ψ(Ω₄)，H⁴(ζ0)=ψ(Ω₅)
H(Ω)=ψ(Ω_ω)。
以上是上述7条规则所能表达的极限。

再定义Ω的作用。
由于是增长率序数模式，需要对角化，想了许久才安排了这个“相当合适”的规则。
H(Ω，n)=第1+n个α→H(α)
H(Ω，0)=H(Ω)，H(Ω+a)同前规则:
因为Ω也是极限序数，所以Ω需要对角化。将H^n ()给对角化。
H(H(Ω)+1)=ψ(Ω_Ω)
H(H(H(Ω)+1))=ψ(Ω_Ω_2)
H(Ω，1)=ψ(Ω_Ω_ω)
H(Ω，2)=ψ(Ω_Ω_Ω_ω)
H(Ω，ω)=ψ(ψ_I(0))，H(Ω，ω^2)=ψ(I)
H(Ω，H(Ω))=ψ(Ω_(I+ω))
H(Ω，n)=C(n)，H(Ω+1)=ψ(I_ω)
H(Ω+1，ω+1)=ψ(I_ω)+1
H(H(Ω+1，ω+1))=ψ(I_Ω)
H(Ω+1，ω+2)=ψ(I_Ω_ω)
H(Ω+1，ω+3)=第ψ(I_Ω_ω)个Catching
H(Ω+1，ω+ω)=第2个Catching不动点
由于C函数与ψ函数分析还没到这里，转用C函数来表示。
H(Ω+2)=C(Ω^2)，H(Ω+3)=C(Ω^3)
H(Ω+ω)=C(Ω^ω)，接着又是复杂操作:
H(Ω+ω[ω+1])=C(Ω^(ω+1))
H(Ω+ω+1)=C(Ω^Ω)，H(Ω+ε0)=C(ψ₁(0))
后面转用增长率序数函数表示。
H(Ω+H(Ω))={1，{1，0，0}，ω}
H(Ω+H(Ω+H(Ω)))={1，{1，{1，0，0}，ω}，ω}
H(Ω×2)={2;0，0}
同样的，H(Ω×2)枚举α→H(Ω+α)不动点。
此时进入二阶增长率:
H(Ω×2+1)={2;1，0}，H(Ω×3)={3;0，0}
H(Ω×ω)={ω;0，ω}=LRO
注意，这个ω需要对角化。
H(Ω×ω[ω+1])={ω;0，ω+1}={(ω+1);0，0}
H(Ω×(ω+1))={ω+1;0，0}
H(Ω×H(Ω))={{1;0，0};0，0}
H(Ω^2)={1;0，0，0}

H(H(Ω)+1)和H(Ω+1)的意义是不同的。
前者是把H(Ω)+1代入H函数，结果为ψ(Ω_Ω)，而后者是把Ω+1代入H函数，结果为ψ(I_ω)。
到了H(Ω^2)后我们怎么弄呢。
首先有H(H(Ω^2)+1)，对应于{0;{1;0，0，0}+1，ω}，那么{1;0，{1;0，0，0}+1}怎么办呢?其实用H(Ω，H(Ω^2)+1)表示就行了，{{1;0，0，0};0，ω+1}怎么办呢?还记得Ω^2是怎么合并的?Ω×?所以写成H(Ω^2[ω]，ω+1)，ω项就表示了一个极限序数，所以就需要对角化，当然，其实写成H(Ω×H(Ω^2)，ω+1)更好。{{1;0，0，0};1，ω}=H(Ω^2[ω]+1)，{{1;0，0，0}+1;0，0}=H(Ω^2[ω]+Ω)。
然后{1;0，0，1}=H(Ω^2，1)。
那么接着{{1;0，0，1}+1;0，0}怎么表示呢?
直接把H(Ω^2，1)放进Ω×里头。
即表示成H(Ω×H(Ω^2，1)+Ω)
{1;0，1，0}=H(Ω^2+1)
{1;1，0，0}=H(Ω^2+Ω)
{2;0，0，0}=H(Ω^2×2)
{1;{2;0，0，0}，0，ω+1}=H(Ω^2+Ω×H(Ω^2×2)，ω+1)
{2;0，0，1}=H(Ω^2×2，1)
{(ω);0，0，0}=H(Ω^2×ω)
{ω;0，0，ω+1}={(ω+1);0，0，0}=H(Ω^2×ω[ω+1])
{ω;0，1，ω}=H(Ω^2×ω+1)
{ω;1，0，0}=H(Ω^2×ω+Ω)
{ω+1;0，0，0}=H(Ω^2×(ω+1))
{1@4}=H(Ω^3)，
f_{1@4}+1(ω)=H(H(Ω^3)+1)
{1;0，{1@4}+1}=H(Ω，H(Ω^3)+1)
{1;{1@4}+1，ω}=H(Ω+H(Ω^3)+1)
{{1@4}+1;0，0}=H(Ω×H(Ω^3)+Ω)
{1;0，0，{1@4}+1}=H(Ω^2，H(Ω^3)+1)
{{1@4};0，0，ω+1}=H(Ω^2×H(Ω^3)，ω+1)
{{1@4}+1;0，0，0}=H(Ω^2×(H(Ω^3)+1))
{1@4，1}=H(Ω^3，1)
{1@4，1@1}=H(Ω^3+Ω)
{2@4}=H(Ω^3×2)，{1@5}=H(Ω^4)
{1@ω}=H(Ω^ω)，{2@(ω)}=H(Ω^ω[ω]×2)
{1@ω，ω+1}={1@(ω+1)}=H(Ω^ω[ω+1])
{2@ω}=H(Ω^ω×2)，{1@ω+1}=H(Ω^(ω+1))
{1@(0)0}=H(Ω^Ω)，{1@(1)0}=H(Ω^Ω+1)
{1@((0))0}=H(Ω^Ω+Ω)
{1@(((0)))0}=H(Ω^Ω×2)
{1@((((0))))0}=H(Ω^Ω^Ω)
{1@(0，0)0}=H(ψ_1(0))，
{1@(1，0)0}=H(Ω_2)
将增长率序数的OCF引入Ω后极限是二级对角化的ω→ω→ζ0，下回再讲引入Ω_n，不过这个辅助OCF记号，只能准确的理解二级对角化，而要理解三级对角化得需要更高级的辅助记号。
此OCF记号与ψ函数的交汇点在二级对角化的ω→ω→ω→2处。

引入Ω_n。
既然Ω迭代ω这么细致，那么Ω₂也不能输吧。如果Ω₂就干脆照着ψ函数来搞，这个H记号应该就很浪费了，所以我们这样:
在这个OCF的基础上，定义个H₁函数，用来迭代Ω，这个函数的含义就是把Ω丢进FGH里面。
定义H₁(0)=Ω，H₁()运算同H()，H₁(n)默认值是Ω，与H(n)的是不同的。
H₁(0)=Ω+1，H₁(1)=Ω×2，H₁(2)=Ω^2
H₁(3)=ψ₁(0)，H₁(4)=ψ₁(Ω₂)，H₁(5)=ψ₁(Ω₂^2)，H₁(ω)=ψ₁(Ω₂^ω)
H₁(ω+1)=ψ₁(Ω₂^Ω)，H₁(ε0)=ψ₁(ψ₂(0))
那么怎么出去呢?要迭代H₁函数，H₁(Ω)是必经之路。那么这样定义H₁(Ω)。
当然，这会涉及一波内置OCF，需要将H₁(Ω)当做非递归序数，我们暂时就先避重就轻吧，原本在ω对角化，改在Ω处才需要对角化，就先定义这个弱化版:
那么H₁(ω+1)在这个弱化的记号中表示就是H₁(Ω)，H₁(ω+1)正常=ψ₁(Ω₂^(ω+1))。
H₁(Ω+1)=ψ₁(Ω₂^Ω₂)
H₁(Ω+2)=ψ₁(Ω₂^(Ω₂+1))
H₁(Ω×2)=ψ₁(Ω₂^(Ω₂+Ω))
H₁(Ω×2+1)=ψ₁(Ω₂^(Ω₂×2))
H₁(ψ₁(0))=ψ₁(ψ₂(0))，H₁(ψ₁(0))=ψ₁(ψ₂(Ω₂))，H₁(ψ₁(Ω₂))=ψ₁(Ω₃)
同样的，ψ₁(Ω_ω)就是这个函数的Catching。实际上ψ₁(Ω_Ω)才能正位，所以我们定义ψ₁(Ω_Ω)才是正式的Catch，因为这个弱化版他在ω处不进行对角化。不像可数序数的堆叠。
所以我们就用Ω₂代替这个H₁函数不动点，类似Ω代替H的不动点一般似的。
那么继续扽西:
H₁(Ω₂，0)={1;0，0}=ψ₁(Ω_Ω)
H₁(H₁(Ω₂，0)+1)=ψ₁(Ω_Ω_2)
H₁(Ω₂，1)=ψ₁(Ω_Ω_Ω)
H₁(Ω₂，Ω)=ψ₁(ψ_I(Ω_Ω))，H₁(Ω₂+1)=ψ₁(I_Ω)
类似的，H₂()用于把Ω₂丢进FGH里面，需要Ω₂开始才执行对角化，H₃()用于把Ω₃丢进FGH里面，需要Ω₃开始才执行对角化。
其合并方式呢就如同ψ函数。
上述的ω→ω→ζ0的二级对角化，用这个OCF的H(H₁(4))直接表达，下面再看二级对角化和这个OCF的转换关系:
ω→ω→(ζ0+1)=H(H₁(0，H₁(4)))，ω→ω→(ζ0+ω+1)=H(H₁^Ω(0，H₁(4)))，
ω→ω→(ζ0×2+1)=H(H₁(1，H₁(4)))
ω→ω→(ζ0^2+1)=H(H₁(2，H₁(4)))
ω→ω→(ζ0^ζ0+1)=H(H₁(2，H₁(2，H₁(4))))
ω→ω→(ε(ζ0×2)+1)=H(H₁(3，H₁(4)))
ω→ω→ζ1+1=H(H₁(4，Ω×2))
ω→ω→ζω+1=H(H₁(4，Ω^2))
ω→ω→ζζ0+1=H(H₁(4，H₁(4)))
ω→ω→φ(3，0)+1=H(H₁(5))
小提示:在OCF中，SGH中以Ω收尾的序数转换FGH都是对应于后继序数，所以这些序数全都是加1。
ω→ω→φ(ω，0)=H(H₁(ω))
ω→ω→φ(ω，0)+1=H(H₁(Ω))
ω→ω→Γ0+1=H(H₁(Ω+1))
ω→ω→φ(1，0，0，0)+1=H(H₁(Ω^2+1))
ω→ω→SVO+1=H(H₁(Ω^Ω))
ω→ω→LVO+1=H(H₁(Ω^Ω+1))
ω→ω→BHO+1=H(H₁(ε(Ω×2)))
ω→ω→ψ(Ω₂)+1=H(H₁(ζ(Ω×2)))
ω→ω→ψ(Ω₂^ω)+1=H(H₁(ψ₁(Ω₂^Ω)))
ω→ω→ψ(Ω₂^Ω₂)=H(H₁(ψ₁(Ω₂^Ω₂)))
ω→ω→ψ(ψ₂(0))+1=H(H₁(ψ₁(ψ₂(Ω₂))))
ω→ω→ψ(Ω₃)=H(H₁(ψ₁(Ω₃)))
ω→ω→BO=H(ψ₁(Ω_ω))
ω→ω→BO+1=H(Ω₂)