LRO？

不知道。可以用catching函数比对一下。
catching函数和OCF的交点是BMS的(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)。建立一个二阶catching函数，它再和OCF交点可能是(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)。再建立三阶catching函数，以此类推。那么ω阶catch可能是(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4,0,0)。当然，这是有争议的，也有人认为ω阶catch是(0)(1,1,1,1)

@ychfugug
好不玩原神导致的

那么ω→ω→ω^2(二级对角化)到ω→ω→ω^2+1怎么弄。
ω+1个ω相互康威链就该怎么理解呢？
还是从三元增长率函数理解。
一般的，如果参考具有四条规则的高德纳箭头。其阶数扩充到超限序数，阶数为极限序数时需要对角化。
在这个情况下，f_α(ω)=ω→ω→α。
然后我们可以写作{0;α，ω}。
一般的，{1;0，0}=ω→ω→ω→2，如果参考这个高德纳箭号规则，那么就为BO。
同理，再参考高德纳和康威链的展开，就有{1;α，ω}=ω→ω→ω→(2+α)。
那么ω→ω→ω→ω+1写作成形式是{1;ω+1，ω}，既然0的时候要对角化，1的时候是不是也要，三个箭号要对角化，四个当然也要。
所以ω→ω→ω→ω+1从C(Ω^ω)跳到C(Ω^Ω)。
同样的，ω→ω→ω→ω→2={2;0，0}。
直到{ω;0，α}了的时候，其中{α;β，γ}中，既然β要对角化，那么α他就肯定也要呀。
下面就是很复杂的操作。
ω→ω→ω→…→ω=LRO
那么还是一样，ω→ω→ω→…→ω+1=LRO+1不就跳出来了。
然后ω→ω→(LRO+1)不就大了一截。毕竟LRO是以ω结尾的序数，他是ω段稳定链，根据后继乘Ω极限变Ω，所以我们就有ω→ω→(LRO+1)=Ω段稳定链，于是就能继续搞了，可以看出这跳跃可是十分的大。
再来定义ω→ω→ω→…→(ω→ω→ω→…)，就是第二个ψ与C的交汇点。
于是ω→ω→ω→…→2就是第ω个ψ与C的交汇点。所以三元增长率函数{ω;0，ω+1}=第ω个ψ与C的交汇点，这个函数我们先用Cψ(n)符号表示。
ω→ω→ω→…→3=Cψ(ω×2)
ω→ω→ω→…→ω=Cψ(ω^2)
ω→ω→ω→…→ω+1=Cψ(Ω)(可理解为ψ函数和C函数的二重追平点)
ω→ω→ω→…→2ω=Cψ(Ω×2)
于是形式就很显然了:
ω→ω→ω→…→ω^α=Cψ(β)
其中α满足f_α(ω)=ψ(β)。
所以ω→ω→ω→…→ω→2=Cψ(Ω_ω)
那么我们就有{ω;0，ω+2}=Cψ(Ω_ω)
再代入一级对角化的BEAF数阵上看。
大ω康链可写作{ω，ω，ω，ω}，这个后面的ω是不是得要对角化？根据{3，3，3，3}={3，{3，2，3，3}，2，3}，所以扩展成对角化版本就是{ω，ω，α，ω[α]}，而{ω，ω，ω，ω+1}写成形式就是ω→ω→…→ω，ω+1个ω。显然可以得到康威链链数为ω需要对角化，{α;β，γ}中α是极限序数时需要对角化。
所以{ω+1;0，0}才能=大ω康威链ω+1目，不过这时得到的序数就已经很恐怖了。因为{ω;0，α}的对角化作用，大大的提升了表示法的威力。
而ω→ω→ω^2+1(二级对角化)
等于的是α→α目一级对角化康威链。

序数超运算超强版

粗糙到这种程度的分析，还没有明确的定义，讨论没什么意义

那么ω→ω→ω^2+2(二级对角化)怎么表达呢？
先根据其增长率信息转换成BEAF数阵把其摊开成{ω，ω，2，1，2}。
再转换成取极限形式sup{n∈ω|{ω，n，2，1，2}。
分别计算{ω，2，2，1，2}，{ω，3，2，1，2}，{ω，4，2，1，2}，…
计算{ω，2，2，1，2}={ω，ω，1，1，2}
这个即原来的ω→ω→ω^2+1(二级对角化)
接着计算{ω，{ω，ω，1，1，2}，1，1，2}。
即就是取第ω→ω→ω^2+1(二级对角化)个a→α目一级对角化康威链不动点。设f(x)表示枚举这个不动点函数，则ω→ω→ω^2+2(二级对角化)=α→f(α)。
其实这些在后继序数时直接不动点一级一级推就行了。重点在于处理极限序数的情况。
我们再考虑二级对角化在ω^2+ω的情况。
还是转换，变成{ω，ω，ω，1，2}。那是，我们先举前面的例子，ω→ω→ω→ω写成数阵是什么，{ω，ω，ω，2}，接着ω→ω→ω→ω+1又变成什么，{ω，ω，ω+1，2}是吗？所以我们就可以知道对角化是怎么的规律，从数阵可以看出，也就是从第三个数开始，出现极限序数就要对角化。
那么二级对角化ω^ω+a中a取ω+1阶不过只是对应于{ω，ω，ω[ω+1]，1，2}，假设一种OCF基于表达ω→ω→ω^ω+a的二级对角化，那么这个具备一级对角化运算形式的BEAF数阵{ω，ω，ω+1，1，2}用这个OCF就会表示成f(Ω)，{ω，ω，ω+2，1，2}=f(Ω^2)，…。类似的，{ω，ω，1，2，2}就会是这个的Catching point即f(Ω_ω)。
接着，我们就可以看出在二级对角化的时候，ω→ω→ω^2+(1+k)ω+1是用OCF表示关于ω→ω→ω^2+kω+a函数的Catching point。
那么ω→ω→2ω^2后怎么处理。
还是照大ω康链的那般形式去处理。
首先来到{ω，ω，ω，ω，2}，看看是从哪里sup到的，对，{ω，ω，ω，n，2}。
然后就会有表达式{ω，ω，ω，ω[ω+1]，2}，就是在表达了{ω，ω，ω，a，2}中a在第ω+1阶的情况。使用对角化后，{ω，ω，ω，ω+1，2}就表达了α→{ω，ω，ω，ω[α]，2}，。然后又有{ω，ω，1，1，3}是表达式{ω，ω，ω，α，2}的Catching point。
所以可以总结一个规律，二级对角化就是极限增长率上加1，就直接变成“该极限序数的基本列对应的二级对角化的结果数列”的Catching point。
比如ω→ω→ω^3+1的二级对角化就是f(a)=ω→ω→ω^3[α]的Catching point点，设一个f(x)为枚举ω→ω→ω^3[a]的函数，其规则与OCF一样，那么ω→ω→ω^3+1用这个表示就是f(Ω_ω)，每隔一个ω^2就是这个表示法相当于LRO序数的存在。
二级对角化的ω→ω→ω^ω可以视作该版本的SVO，ω→ω→ω^ω+1则是该版本的LVO。

从以上的规律我们可以得出，对于二级对角化可以这么理解:
设极限序数α=sup{x∈ω|f(x)}。
那么设g(x)枚举ω→ω→f(x)的函数其形式与OCF一样，那么二级对角化的ω→ω→α+1用这个OCF函数表达就是g(Ω_ω)。
那么如果我们进入四目的二级对角化康威链又如何？
首先ω→ω→ω→2表示α是ω→ω→α的不动点。利用嵌套直接按部就班就行了，直接爬到ω→ω→ω→ω，那这上面我们又如何理解呢？如何理解二级对角化下的ω→ω→ω→ω+1？
先回顾一级对角化，ω→ω→ω到ω→ω→ω+1是变成α为ω→ω→ω[α]的不动点，ω→ω→ω→ω到ω→ω→ω→ω+1是变成α为ω→ω→ω→ω[α]的不动点。
所以ω→ω→ω→ω+1是枚举ω→ω→ω→α形成Catching，设ω→ω→ω=f(0)，ω→ω→ω→2=f(1)，如果该f(x)具有OCF的迭代模式，那么ω→ω→ω→ω+1=f(Ω_ω)。同样的，ω→ω→ω→ω→ω+1又是ω→ω→ω→ω→a的catching。
{ω，ω，ω，ω+1}是ω→ω→…→ω(a个ω)的Catching。
{ω，ω+1(1)2}是{ω，ω，…(a个ω)}的Catching。
所以二级对角化这样的模式，我们可以叫做Catching进位。
上面的二级对角化中，ω→ω→ω→2具有ω+1级增长率，所以换算成三级对角化时是ω→ω→ω+1，同理，ω→ω→ω→ω换算成三级对角化是ω→ω→2ω。

当然，其实，我觉得大ω康链由于比较容易理解，所以并不算是二级对角化的真正体现部分的开始，应该从ω→ω→ω^2+1开始。
再来讨论二级对角化部分ω→ω→ω^2到ω→ω→ω^2+1的跨越有多大，这部分可以说简直是在玩死OCF。
首先，回顾上面的{ω;0，ω}=LRO，{ω;0，ω+2}=Cψ(Ω_ω)。
那么{ω;0，ω+3}=？由于可以转化为{(ω+3);0，0}，所以=Cψ(λ)，其中λ满足ψ(λ)=C(Ω_ω)。
先说下为什么{ω;0，ω}=LRO，可以这么理解，{1;0，0}=BO，{2;0，0}=C(Ω_ω)，而{3;0，0}=f(Ω_ω)(f是关于{α;a，b}的OCF函数)，每一级都在对前者进行FGH式递归，所以{a+1;0，0}在表示{a;b，c}的OCF中表示为f(Ω_ω)，{a+2;0，0}又是其f(λ)(λ满足ψ(λ)=C(Ω_ω))，在ω处这些OCF对应的基数会被抹平，由OCF和C函数的交点是LRO。所以{(ω);0，0}即{ω;0，ω}=LRO。进而得{(ω);a，b}是用来枚举OCF和C函数的交点的FGH。
其实三元增长率函数是我更早的记号。作用可以说就是用来枚举Catching point。
继续回到原来的问题，{ω;0，2ω}就是Cψ(λ)，其中λ满足ψ(λ)=LRO，{ω;0，3ω}=Cψ(λ)，其中λ满足ψ(λ)={ω;0，2ω}，进而我们就有{ω;0，ω^2}就是C₂(0)(这是其他人的记号，Cn表示Cn-1与ψ函数的交点)，为枚举OCF和C函数的交汇点的与OCF的交汇点。
类似的有{ω;0，ω^3}=C₃(0)，{ω;0，ω^ω}=Cω(0)，{ω;0，ε0}=C_ε0(0)。
{ω;0{ω;0，ω}}=C_LRO(0)。
{ω;1，ω}=C_Ω(0)。
接着，{ω;ω，ω}=C_Ω^ω(0)。
{ω;ω+1，ω}=C_Ω^Ω(0)。
{ω;ε0，ω}=C_ψ(ψ_1(0))(0)。
可以得出{ω+1;0，0}=C_Ω_ω(0)。
也就是说，需要Ω_ω阶Catching函数(其中阶具有OCF迭代模式)才能表示三元增长率的{ω+1;0，0}，也就是二级对角化下的ω→ω→…→ω→2。
接着就是Catching函数接受降维打击的部分。
{ω+1;0，1}=C_Ω_Ω_ω(0)
{ω+1;0，ω}=C_ψ_I(0)(0)
{ω+1;0，α}=C_λ(0)，其中λ有C(α)=ψ(λ)
最终在{ω+1;1，ω}处使得ψ函数和Catching阶数迎来大一统。
从{ω+1;0，0}开始，一切都恢复正常。
而到了{ω+ω;0，0}就又开始混乱了。
但我们还是能接着知道这个大坎是怎么过的，{2ω+1;1，ω}就又是Catching阶数大一统点的枚举与ψ函数达成大一统。我们称为这是第二回大一统。
大一统的次数达到不动点了，就是ω→ω→ω^2+1。
可见二级对角化的ω→ω→ω^2+1有多大。
其实，二级对角化是f(Ω_ω)进制的说法并不太准确，而是“大一统回合不动点”进制。

这我们可以称之为FGH序数模式。
鉴于这些很多人都不知道怎么搞，我来解释一下。
当然，为了理解二级对角化有多恐怕。
我们需要得从三元增长率序数为基础，继续扩展多元增长率序数。
定义四元增长率函数:
{a;b，c，d}。
1，a，b，c遇到极限序数需要对角化。
2，这个函数每迭代一次c加1。
3，每到不动点的向前一级进位。
4，d枚举第1+d个这样的点。
上述ω→ω→ω^2+1就能表示成{1;0，0，0}，我们可以管他叫做增长率阶数不动点，也可以称为HBO(和BO类似，BO是三元，为增长率不动点，而该序数是四元，是增长率阶数不动点)。
接着{0;{1;0，0，0}+1，ω}必然跳的很多，很大可能{1;0，0，0}也是个以ω结尾的大可数序数，而上面这个会直接跳到Ω阶，这个定义复杂度会远远比从ω阶稳定链变成Ω阶稳定链复杂的多了，更比从BO变成ψ(Ω_Ω)还复杂。
{{1;0，0，0}+1;0，0}就又是一种类似BO的玩意。直到α→{α;0，0}了就是{1;0，0，1}，当然，这个序数应该已经大到无边了，下面接着开始进行FGH模式。
设一种OCF用于基于表达{1;0，0，a}的玩意，那么{1;1，0，0}显然就会被表示成f(Ω_ω)，{1;0，{1;1，0，0}+1，ω}=f(Ω_Ω)，{1;ω，0，ω}就会又表示成f(ω-π-Π0)(可理解为相当于{1;}的LRO序数)，因为{1;ω，}是具有对角化特殊作用的，所以{1;ω，0，ω+1}表示是第ω+1阶的{1;a，0，0}，而不是第ω+1个{1;N}的不动点，然后又到{2;0，0，0}，表示{1;}的不动点，应该相当于f(λ)，其中λ满足ψ(λ)={1;0，0，0}，当然，再分析下{2;0，0，1}这玩意要经过哪些步骤。
首先是f_{2;0，0，0}+1(ω)，应该是个极大的突变，然后有{1;0，{2;0，0，0}+1}，{1;{2;0，0，0}+1，ω}，{2，0，{2;0，0，0}+1}，{({2;0，0，0}+1)，0，0}，{{2;0，0，0}，0，ω+1}(当然，我也建议把这样的对角化写成α，取第ω+α项这样更美观)，{{2;0，0，0}，1，ω}，{1;0，0，{2;0，0，0}+1}，{1;({2;0，0，0}+1)，0，0}，{1;{2;0，0，0}，0，ω+1}，{1;{2;0，0，0}，1，ω}，{1;{2;0，0，0}+1，0，0}。
这些操作应该够OCF和各种与ψ交点表示函数来弄吧。
到{ω;0，0，ω}(此处第四元上的ω需要对角化)应该就是这个f与ψ的交汇点了，0位参数每乘个ω就是描述他的OCF新的与ψ的交点。然后就是一顿翻天覆地的变化后，我们便就到了α→{α;0，0，0}，这就是二元对角化的ω→ω→ω^3+1，也可以称之为三级的BO序数。
还可以定义多元增长率函数，其中除了0位参数外，其他都需要对角化。
比如{1@4，1}就是{1;0，0，0，1}。是第二个α→{α@3}。
当然，其实{1;0，0，0，1}里面很可怕。
先有{{1;0，0，0，0}+1，ω}，就这个就是ω变Ω，如果在搞函数的方式中来完成这步就是十分复杂。然后就有{{1;0，0，0，0}，0，n}，因为{1;0，0，0，0}本身也是极限序数，所以也要进入对角化操作，零位上改为ω+1就恐怖如斯了，原来的ω步基本列会变成实际的第ω+1项。就像{{1;0，0}，ω+1}是ψ(Ω_(ω+1))一般。还有{{1;0，0，0，0}，0，0，n}这种。然后才能到{1;0，0，0，1}。
同样的，便就有{2;0，0，0，0}，{1@5}这样的，对应到二级对角化的2ω^3+1和ω^4+1级别，{ω@n，ω}都是枚举{1@n，α}的OCF函数与ψ的交点，当然，可能{2@n，α}就足够了。
然后{1@ω}就是大ω数阵，这是ω级的BO序数。{1@ω}后面可就麻烦了，还是先有{1@(ω)，1}，是{1@ω}+1经过前面的各种自然数元增长率序数构造的极限，当然，{1@ω}的对角化就足够答辩，{ω@(ω)，ω}自然是枚举{1@(ω)，α}的OCF与ψ函数的交点，然后才是真正的{1@ω，ω+1}({1@ω}此处的ω需要对角化)，进而要来到{1@ω，1@n}，最后就来到{2@ω}，然后{2@ω}需要代入{1@ω，}系列中完成对角化，才能有{2@ω，n}这样的。
然后才到ω→ω→ω^ω+1
应该每个在n元增长率序数上有名的序数都是以ω结尾的很大的序数吧。

其实我也总结了增长率序数的各种性质:
1，如果α是极限序数，且fα(ω)在ψ序数是以ω收尾的序数，则fα+1(ω)在ψ序数中为将前者的ω转换为Ω的结果。
2，α是后继序数，则fα+1(ω)在ψ序数中只需要乘上Ω。
3，α是极限序数，如果fα(ω)为塔型不动点，则fα+1(ω)为替换成第Ω个不动点的结果，在BOCF上看则只需要乘以Ω。
4，增长率序数的构造在ψ序数中，仅有自然数和ω，Ω等的乘积，没有诸如ω+1这样的构造。
5，极限增长率要么以ω收尾，要么以Ω₂及以上的序数或塔型不动点收尾，不可能以Ω收尾，以Ω收尾都是后继增长率。
6，n重增长率不可能以Ω~Ωn之间的序数收尾。至少是Ω_(n+1)。
7，f_ψ(h(Ω_n))(ω)=ψ(h_(Ω_(n+1)))
8，增长率不动点在ψ中均以ω结尾或者是塔型不动点结尾，不可能以Ω_n(n∈N，n<I)结尾。

虽然在ω→ω→ω^ω+1时增长率序数就达到极限了，但是，这也是只能摸到二级对角化的冰山一角。后面还有ω→ω→ω^ω+2，ω→ω→ω^ω+ω+1，ω→ω→ε0那样的东西，已经是超过多元增长率序数所能表示的范畴更超越xx阶Catch。只有y序列或者BMS才能描述这个序数，可能已经抵达Y(1，6)了(对于LRO后面的序数还不怎么理解，未能分析这些玩意有多大)。
那么接着怎么理解ω→ω→ω^ω+2
还是拿出{1@(0)0}这东西吧。
首先进入{1@(0)0}+1，{0，{1@(0)0}+1，ω}(这个在迭代函数的方面上会是个极大的突变点，ω变Ω，此时OCF应该就要用到高阶稳定基数了)，如果设{1@(0)0}=某个f(x)的第ω项，接着{1，0，{1@(0)0}+1}，{({1@(0)0})，0，1}，{({1@(0)0}+1)，0，0}，{{1@(0)0}，0，ω+1}(即{f(ω+1)，0，ω})，{{1@(0)0}，1，ω}，{1@3，{1@(0)0}+1}，{1@4，{1@(0)0}+1}，{1@(ω)，{1@(0)0}+1}，{1@ω，{1@(0)0}+1}，{1@({1@(0)0})，1}，{1@{1@(0)0}，ω+1}，{1@{1@(0)0}，1@1}，{1@{1@(0)0}+1}，{1@{1@{1@(0)0}+1}}，{1@(0)1}，直到α→{1@(0)α}，就是ω→ω→ω^ω+2，以上类似我扩展的φ序数，可写作{1@(1)0}。
到达{1@(ω)0}了又是大变化，可以设{1@(0)α}能在某种OCF表示成f(α)，{1@(1)0}用这个就是f(Ω)，{1@((0))0}=f(Ω_ω)，接着在{1@(((0)))ω}处即抹平，注:里面出现极限序数，只要不是0位参数通通都要对角化。
然后{1@(1，0)0}就是二级对角化的ω→ω→ε0，当然，准确写法应该是{1@(1，0)ω}。

你枚举不够详细，定义不够明确，分析不够平凡，追求有人帮你分析，至少满足其中一个吧

那么怎么从{1@(ω)0}变成{1@((0))0}呢？
首先是{1@( ω )0}(这个ω不用来做为对角化记号，直接计算)，可以考虑到{1@(ω)0}是某种序数表达式的取极限，取到第ω项，如果把这个表达式记为f_n，那么{1@(ω)0}就记作f_ω，那么{1@(ω)0，ω+1}就是f_ω+1，{1@(ω)0，1@1}就是f_不动点，这些不动点于是被{1@(ω)0，n@1}给折叠了，接着就到{1@(ω)0，1@n}，中间的{1@(ω)0，ω@1}是最麻烦的阶段，他直接着相当于实际的{1@(ω)0，n@1}的堆叠，直到{2@( ω )0}，{1@{1@( ω )0+1}}乃至{1@(0){1@(ω)0+1}}，然后才是{1@( ω )1}，接着有非对角化的{1@(ω+1)0}，在非对角化的形式中，里面达到f_ω+1时，才能演变成对角化形式的{1@(ω)0，ω+1}(ω+1位于0位参数)，达到f_α才能演变成{1@(ω)0，α}，接着继续复杂的步骤，才是真正的{1@(ω+1)0}(对角化形式)，最后到α→{1@(α)0}才是二级对角化的ω→ω→ω^ω+ω+1。
类似的，可通过我定义的φ序数类比，α→{1@((0)α)0}为二级对角化的ω→ω→ω^ω+2ω+1，α→{1@((0)(0)α)0}为二级对角化的ω→ω→ω^ω+3ω+1，α→{1@((0)…α项)0}是ω→ω→ω^ω+ω^2+1(注，其中α项，还是()里面来极限序数，通通都需要对角化)，
α→{1@((1)α)0}是ω→ω→ω^ω+ω^2+ω+1，后面你就知道怎么弄了。
其实，我们可以用对角化序数模型来魔改序数函数，就可以得到二级对角化。
先从φ函数开始，φ(ω，n)要定义成φ(ω[n]，n)，一个对角化序数版的φ函数就定义完毕了。
那么能不能把这个对角化序数计算方式弄进OCF里面去呢？这样就可以很方便的理解二级对角化了。
我们先从ψ(Ω^ω)开始，φ(ω，n)在ψ函数怎么表示呢？就是ψ(Ω^ω×n)是吗？没错，定义ψ(Ω^ω×n)=ψ(Ω^(ω[n]))，完毕，就这么改。