此题,投影到坐标平面时,需要注意曲线的方向和参数方程θ起点终点的关系。
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请先看懂5楼和17楼。
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x 轴正向看,曲线是逆时针方向。
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解法一:
斯托克斯公式。
转为曲面积分。
右手法则,逆时针得曲面为前侧。
曲面是过球心的大圆,并且是一个平面,所以曲面的面积就是大圆的面积。半径为a。
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联立方程,消去y,投影到zox平面。
从y轴正向看,曲线也是逆时针方向。这个楼层后面讲z轴正向看的曲线方向时,会讲到这点。
5楼讲过,要以z轴为横轴,以x轴为纵轴。
以 z 轴为横轴, 以 x 轴为纵轴,则曲线是逆时针方向。
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解法二:
参数方程。
投影到zox平面,然后参数方程。
按17楼讲的,你可以取θ=0和π/2,然后看一下沿曲线方向走劣弧过去,走的方向和曲线方向相同则起点θ是0,方向相反则起点θ为2π。
此题 t 取 0时,在A点,t 取 π/2时,在B点。而曲线是逆时针方向,所以是相反方向,所以θ是从2π到0。
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取x+y+z=0,右手法则,得曲面朝前。所以 x,y,z 曲面法向量都是正数。
所以曲面朝前,曲面朝右,曲面朝上。
所以x, y, z轴正向看,曲线都是逆时针方向。
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上面讲了消去y,也可以消去x或z,投影到其他坐标平面。然后再参数方程。
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xoy平面的投影曲线。
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yoz平面的投影曲线。
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解法三:
投影到yoz平面。降维,消去x,格林公式。
投影曲线为逆时针方向,为正向。
二重积分的换元法,雅可比式,椭圆面积公式。
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请先看懂5楼和17楼。
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x 轴正向看,曲线是逆时针方向。
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解法一:
斯托克斯公式。
转为曲面积分。
右手法则,逆时针得曲面为前侧。
曲面是过球心的大圆,并且是一个平面,所以曲面的面积就是大圆的面积。半径为a。
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联立方程,消去y,投影到zox平面。
从y轴正向看,曲线也是逆时针方向。这个楼层后面讲z轴正向看的曲线方向时,会讲到这点。
5楼讲过,要以z轴为横轴,以x轴为纵轴。
以 z 轴为横轴, 以 x 轴为纵轴,则曲线是逆时针方向。
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解法二:
参数方程。
投影到zox平面,然后参数方程。
按17楼讲的,你可以取θ=0和π/2,然后看一下沿曲线方向走劣弧过去,走的方向和曲线方向相同则起点θ是0,方向相反则起点θ为2π。
此题 t 取 0时,在A点,t 取 π/2时,在B点。而曲线是逆时针方向,所以是相反方向,所以θ是从2π到0。
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取x+y+z=0,右手法则,得曲面朝前。所以 x,y,z 曲面法向量都是正数。
所以曲面朝前,曲面朝右,曲面朝上。
所以x, y, z轴正向看,曲线都是逆时针方向。
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上面讲了消去y,也可以消去x或z,投影到其他坐标平面。然后再参数方程。
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xoy平面的投影曲线。
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yoz平面的投影曲线。
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解法三:
投影到yoz平面。降维,消去x,格林公式。
投影曲线为逆时针方向,为正向。
二重积分的换元法,雅可比式,椭圆面积公式。
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