斯托克斯公式, 空间有向闭曲线的第二类曲线积分

二楼

三楼

四楼。
本楼层的楼中楼会放相关贴子的链接。
定积分，二重积分，三重积分，曲线积分，曲面积分等等。

右手空间直角坐标系。
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平面有向闭曲线，曲线方向分逆时针和顺时针。
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空间有向闭曲线，投影到坐标平面之后，如果没有退化为一条直线，则还是分逆时针和顺时针。
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八个卦象。
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从z轴的正向看去，空间有向闭曲线取逆时针方向。
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从z轴的正向看去，说明人眼睛在z轴正向，从z轴正向往z轴负向看去。
结合右手空间直角坐标系，可得曲线在xoy平面的投影曲线的方向和看到的方向是一致的，也就是逆时针方向。
此时，投影横轴是x轴，投影纵轴是y轴。
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同理，从x轴正向看去，投影到yoz平面，投影横轴是y轴，投影纵轴是z轴，则曲线方向和看到的方向一致。
从y轴正向看去，投影到zox平面，投影横轴是z轴，投影纵轴是x轴，则曲线方向和看到的方向一致。
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投影到zox平面时，要格外注意横轴是z轴，纵轴是x轴，这个比较容易出错。所以做题时请尽量向另外两个平面投影。优先投影到xoy平面，然后是yoz平面。尽量不要用zox平面的投影曲线。

dxdy,dydz,dzdx 分别转为 dxdy,dydz,dzdx的转化公式。
在第二类曲面积分中，很常用。
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先证明一个常用的结论。
正弦和余弦的乘积在一个周期内的积分。
n和m是正整数或零。
当n或m为0时，说明没有这一项，就是纯正弦或纯余弦。可以转为wallis公式。
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结论就是:
当n或m任意一个为奇数时(含同时为奇数的情况)，积分值为0。
当n和m同时为偶数时，积分值不为0。此时可以转为wallis点火公式进行计算。
可以利用sin平方+cos平方=1化为sin或cos的正偶数次方的多项式。
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这个结论在参数方程时经常会用到。
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周期函数平移公式。
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正交的三角函数。
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三角函数的性质。
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wallis公式
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此题的3条线段是3个表达式。
所以降维，需要分3段。参数方程也需要分3段，都很麻烦。
所以此题只用斯托克斯公式这一种解法。
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此题的曲线方程，也是多段表达式。
降维和参数方程，都很麻烦。
所以此题只用斯托克斯公式这一种解法。
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此题的曲线方程，也是多段表达式。
降维和参数方程，都很麻烦。
所以此题只用斯托克斯公式这一种解法。
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曲面在球面上，所以满足球面方程，曲面方程是恒等式，可以代入到被积函数。
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此题的曲线方程，也是多段表达式。
降维和参数方程，都很麻烦。
所以此题只用斯托克斯公式这一种解法。
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曲面方程是恒等式，可以代入到曲面积分的被积函数。
第一类曲面积分，投影到xoy平面，计算二重积分。
被积函数是1，二重积分就是区域面积。
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5楼投影曲线的方向理论，一定要掌握。
9楼的wallis公式，一定要掌握。
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此题从z轴正向看是顺时针方向，所以我们投影到xoy平面，x是横轴，y是纵横。
xoy平面的投影曲线是圆，方向为顺时针。
这个投影曲线将会在解法二和解法三中使用。
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解法一：
斯托克斯公式。
转为曲面积分。
右手法则，顺时针得曲面为下侧。
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解法二：
投影到xoy平面。参数方程。
投影曲线为顺时针方向，为负向，所以θ是2π到0。
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课件的解法。
用一下wallis公式，可以简化解法。
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解法三：
投影到xoy平面。降维，消去z，格林公式。
投影曲线为顺时针方向，为负向。
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