回复：曲线积分, 格林公式, 平面上曲线积分与路径无关

题目和书本解法。
我的解法在后面。
这个题目就是补线，格林公式。
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连接线段BA，封闭曲线是顺时针方向，格林公式。
二重积分dxdy，被积函数是1，所以是区域面积。
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基础题。
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常规解法。
下图给一种换元解法。后面会给出更多种的换元解法。
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下面几种换元解法都可以。
用一下凑微分。
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题目和书本答案，我的答案在后面。
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求偏导数。
因为下图倒数第二行不会恒等于零，所以最后一行成立。
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取折线段积分。
红框积分的推导过程看后面的图。
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红框积分的推导过程。
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取微分验算。
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23楼的应用。
第二类曲线积分转为第一类曲线积分。
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在23楼中，令 t = x，得到下图。
因为终点的 x = 1，比起点的 x = 0 要大，所以红色取正的符号。
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题目
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题目给了二阶偏导数。被积函数是一阶偏导数。
解题思路：
把第一类曲线积分转为第二类曲线积分，然后格林公式求偏导数，就可以把一阶偏导数转为二阶偏导数。
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利用23楼的理论，把第一类曲线积分转为第二类曲线积分。
这里用参数方程进行过渡。
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极坐标计算二重积分。
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题目
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L 在直线AB的下方。
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因为 L 在直线AB的下方。
补线直线BA，从B到A是逆时针方向，所以是正向曲线，格林公式取正号。
二重积分dxdy的被积函数是1，所以积分值就是区域面积。
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I(AB) 的计算，下图是一种解法，下下图是另一种解法。
解法一：
下图是将曲线积分与路径无关的那部分被积函数分离出来，求出原函数，然后代入起点和终点。
曲线积分与路径有关的那部分，单独计算。
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解法二：
下图是将曲线积分与路径无关的那部分被积函数分离出来，取折线段积分。
曲线积分与路径有关的那部分，单独计算。
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题目
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偏导数相等。
解微分方程。
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折线段积分。
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也可以用下图的求原函数，然后代入起点和终点。
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题目
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由梯度得一阶偏导数的等式。
对一阶偏导数再求一次偏导数。
当 x 大于零是，x^4 + y^2 显然大于零，所以不会等于零。
所以即使 x^4 + y^2 出现在分母，偏导数也是连续的。
二阶混合偏导数连续，所以相等。
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在 x > 0 的条件下，曲线积分与路径无关。
起点的(1,0)可以换成任意 x > 0 的点，都不影响，因为最终会合并到C里面。
取折线段积分。
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题目
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当 y > 0 时，曲线积分与路径无关。
用 xy = 2 的路径进行积分。
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第13楼最后一图，曲线方程改为星形线的解题过程如下：
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题目
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构造曲线积分，使用格林公式。
曲线L是圆周C，所以有 f(x,y) = 0，所以蓝色等于零。
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下图的最前面两行是柯西不等式。
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计算定积分。
不定积分的计算，看下面这个贴子链接的公式74
https://tieba.baidu.com/p/6245118784
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题目
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在 y > 0 的单连通域上，曲线积分值恒等于零，所以偏导数相等。
后续的证明看这个链接的114楼。
https://tieba.baidu.com/p/6564700314
注意：要对 t 求导。
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