回复：曲线积分, 格林公式, 平面上曲线积分与路径无关

题目
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构造曲线积分，使用格林公式。
曲线L是圆周C，所以有 f(x,y) = 0，所以蓝色等于零。
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下图的最前面两行是柯西不等式。
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计算定积分。
不定积分的计算，看下面这个贴子链接的公式74
https://tieba.baidu.com/p/6245118784
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题目
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在题目所给曲线围成的封闭区域上，偏导数显然连续。
任意闭曲线的积分恒等于零，所以偏导数相等。
因为题目求f(y/x)，所以令 u = y/x 转为 f 对 u 的微分方程。
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解带初值条件的微分方程。
这里用的凑导数法。
也可以令 z = f'(u)，转为 z 对 u 的一阶线性微分方程，然后套用通解公式。
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摘自北大数学分析教材--伍胜健
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148楼的最后一图比较重要，重新开一个楼层。
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定理16.7.3，在(1),(2),(3)中，D可以是单连通域，也可以是复连通域。
P(x,y)和Q(x,y)只要求在D内连续。
u(x)要求在D内可微。
而在(4)中，要求D是单连通域，并且P,Q在D内具有连续偏导数。
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下面我们讲一下，(4)如果只有P，Q在D内具有连续偏导数的条件，而D是复连通域，会怎么样？
答案：D是复连通域时，曲线积分与路径无关使用格林公式可以推出(4)，但(4)不一定能推出曲线积分与路径无关。
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题目
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答案等于零。
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由149楼，可知曲线积分与路径无关。
所以闭合曲线的积分为零。
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格林公式。
第六行，使用二重积分的轮换对称性。
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