曲线积分, 格林公式, 平面上曲线积分与路径无关

二楼

三楼

四楼。
本楼层的楼中楼会放相关贴子的链接。
定积分，二重积分，三重积分，曲面积分，斯托克斯公式等等。

1) 被积函数是曲线的线密度，则曲线积分就是曲线形构件的质量。
2) 被积函数是1时，表示曲线的弧长，也就是曲线的长度。
3) 被积函数可以理解为高，弧长理解为长，长乘以高，曲线积分就是曲面面积。
4) 如果是闭合曲线，则积分符号上面加一个小圆圈。
.

第一类曲线积分的计算法。
注意：
1) 导数的平方和必须要连续。
2) 化为定积分，积分上限一定要大于积分下限。
.




.
可以将下面的(2)和(3)，看成特殊的(1)。
.


.
极坐标系的弧长公式，推导过程。
注意：在极坐标系中，r 是 θ 的函数。
.

1) 第一类曲线积分的对称性和轮换对称性。
2) 曲线积分求柱面面积。
3) 旋转体的侧面积。
.






.
此处的f(θ)就是极坐标方程r(θ)。
f(θ)sinθ就是rsinθ，就是y，就是被积函数f(x)。
再代入极坐标系弧长公式的ds。
.

质心，重心，形心。
.
在数学考研的范畴内，重心就是质心。
.
当ρ(x,y)与ρ(x,y,z)为常数时，质心就成为了形心。
公式的分子分母约去ρ就是形心公式。
.

.
以下如无特殊说明，均假设ρ(x,y)与ρ(x,y,z)在所定义的区域上连续。
.
二重积分：
对于平面薄片，面密度为ρ(x,y), D是薄片所占的平面区域，则计算质心的公式为
.

.
三重积分：
对于空间物体，体密度为ρ(x,y,z)，Ω是物体所占的空间区域，则计算质心的公式为
.

.
第一类曲线积分：
对于光滑曲线L，线密度为ρ(x,y,z)，则计算质心的公式为
.

.
第一类曲面积分：
对于光滑曲面薄片∑，面密度为ρ(x,y,z)，则计算质心的公式为
.

转动惯量
.
二重积分：
对于平面薄片，面密度为ρ(x,y), D是薄片所占的平面区域，则该薄片对于x轴，y轴和原点O的转动惯量
.

.
三重积分：
对于空间物体，体密度为ρ(x,y,z)，Ω是物体所占的空间区域，则该物体对于x轴，y轴，z轴和原点O的转动惯量
.

.
第一类曲线积分：
对于光滑曲线L，线密度为ρ(x,y,z)，则该曲线对于x轴，y轴，z轴和原点O的转动惯量
.

.
第一类曲面积分：
对于光滑曲面薄片∑，面密度为ρ(x,y,z)，则该曲面对于x轴，y轴，z轴和原点O的转动惯量
.

引力
.
G为引力常系数，m为质点的质量。
.
二重积分：
对于平面薄片，面密度为ρ(x,y), D是薄片所占的平面区域，则该薄片对于点P(x0,y0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy)为
.
.
.
三重积分：
对于空间物体，体密度为ρ(x,y,z)，Ω是物体所占的空间区域，则该物体对于点P(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy,Fz)为
.
.
.
第一类曲线积分：
对于光滑曲线L，线密度为ρ(x,y,z)，则该曲线对于点P(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy,Fz)为
.
.
.
第一类曲面积分：
对于光滑曲面薄片∑，面密度为ρ(x,y,z)，则该曲面对于点P(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy,Fz)为
.

.
例2也可以直接用对称性。
.

.
第一种解法：极坐标系的弧长公式
第二种解法：参数方程。
.

利用对称性和轮换对称性。
平面曲线类似二重积分。坐标系平移也类似二重积分。
空间曲线类似三重积分。坐标系平移也类似三重积分。
.
曲线方程是恒等式，可以代入到曲线积分的被积函数。
重积分是区域不等式，不可以代入到重积分的被积函数。
.








.
参数方程。
对称性，轮换对称性。
将4/3改为2/3就是星形线。
倒数第二行的被积函数是x^(4/3)，可以用一下轮换对称性，添上y，然后代入曲线方程。
.

球被平面所截，截面是圆。
如果截平面过球心，则是大圆。
.
如果截平面不过球心，则球心到平面的距离，球半径，截面圆半径，三者构成直角三角形。
可以算出截面圆的半径。
.
曲线方程是恒等式，可以代入被积函数。
被积函数是1，就是曲线的长度。
.
点到平面的距离公式见后面的详细推导过程，这个公式必须要掌握。
.



.
截平面不过球心。
.

.
截平面过球心
.

9楼是质心，重心，形心。
10楼是转动惯量。
11楼是引力。
.

曲线积分求柱面面积。
.