重点讲解几个易错点:
.
(1) 标准的幂级数必须是an*(x-b)^n的形式,其他的形式都不是幂级数。其中n必须是自然数,n必须是整数,n不可以出现负整数。
.
(2) x=b时,S(b)=a0,也就是常数项。将幂级数一项一项展开,x=b代入后,除第一项a0外,剩下项全部含有 x 全是零,所以S(b)=a0。如果没有常数项,则a0等于零。
x的0次方只是一个记号而已,实际上没有这种东西。只是为了累加号可以使用统一的表达式,而把1记为x的0次方而已。
所以并没有所谓的0的0次方的说法。
简单记忆:在幂级数中,0的0次方等于1
对于 x 的0次方,求导之后是0,并不是 x 的负1次方。因为对常数的求导之后,结果是零。
.
(3) 先求导消掉分母里面的n,使用等比级数求出和函数,然后再对和函数进行积分或者转微分方程。
在这个过程中,需要使用牛顿--莱布尼茨公式,上限永远是x,下限永远是b。
因为S(b)=a0最容易计算,而x不等于b时,S(x)是无穷多项,数项级数的值计算太复杂,所以我们选择x=b,也就是下限等于b。
也可以称S(b)=a0是微分方程的初值条件。
也可以将 S(b) - F(b) 合起来做为微分方程的初值条件。
.
(4) S(b)和F(b)在计算过程中,不可以省略,虽然绝大部分题目,这两者都等于零,绝大部分的解法中,会省略这两个值,但个人不建议省略,还是写出来,这样才不容易出错。在幂级数展开的题目中,先求导,再展开幂级数,然后再积分,这时候x=b的S(b)注意也要写出来。
.
注意:
91楼的例子,积分下限b对应的F(b)不等于0,所以在计算积分时,积分下限对应的值,不可以省略。
这个也是一个易错的点。
.
.
(5) 在求导和积分的过程中,需要先将幂级数转化为标准的幂级数,也就是(x-b)^n,也就是x的系数必须是正的1,也就是 x 没有系数,也就是最后一图的红色。像最后一图的题目中,求导和积分,都只针对x,而对于系数-2,是放在等比数列求和函数时,再计算,也就是最后一图的蓝色,在只剩下等比级数时,再处理(-2)^n。
不建议令 t = -2x 换元,因为这样你会对 t 求导和积分,容易出错。
.
如果你一定要换元,也是可以的。
那么将所有出现的 x 都换成 t,然后在积分和求导的时候,都用 t 进行操作,求出最终的和函数之后,再将全部的 t 换回 x
注意:
一定要把全部的 x 换算成新字母 t ,然后再进行操作。
.