或许可以这样？
原式为xyz=k(x^2+y^2+z^2)
已经知道[x=y=z=3k]是原式的解，因此，可假设x=3k+m，y=3k+n，z=3k+p，其中[m,n,p]是小于等于2的正整数。
将这些代入原式，得到：
3k(3k+m)(3k+n)(3k+p)=k[(3k+m)^2+(3k+n)^2+(3k+p)^2]
化简：
27k^4+(9m^2+18mn+9n^2+9m^2+18mp+9p^2+9n^2+18np+9p^2)k=9k^3(m+n+p+m^2+n^2+p^2)
继续整理，得到：
3k^3=3(m+n+p+m^2+n^2+p^2)
即：
k^3=(m+n+p+m^2+n^2+p^2)
因为k是正整数，所以m+n+p+m^2+n^2+p^2也是正整数。[m,n,p]是小于等于2的正整数，所以m^2+n^2+p^2的取值范围是[0,1,2,3,4,5,6,9]。
所以，k^3的取值范围是[0,1,2,3,4,5,6,9]。
粗略验证，k=0,1,2,3,4,5,6,9都是满足条件的正整数解。
此法不知是否可行？不对请指出问题谢谢

再给一个特例：x=y=2k/a+ka,z=2k+ka^2，a/2k
证明：当x=y，原式即为：2kx^2+kz^2=zx^2
(z-2k)x^2=kz^2，z=2k+k(z^2/x^2)=2k+ka^2,x=y=z/a=(2k+ka^2)/a=2k/a+ka
根据不同k，得出不同解：
1、a=1，x=y=z=3k
2、a=2，x=y=3k，z=6k
3、a=k，x=y=k^2+2，z=k^3+2k
4、a=2k，x=y=2k^2+1，z=4k^3+2k
如果x、y、z两两互素呢？

不要求x, y, z互素的话，x=a(a²+b²+c²), y=b(a²+b²+c²), z=c(a²+b²+c²)，k=abc就是一组解
因为x, y, z同时乘以某个数t之后，xyz/(x²+y²+z²)比值也会增加t倍，这个比值本身一定是有理数，t取它的分母之后比值就变成整数，所以不管x:y:z是哪一种比例，都有对应的正整数解