在数理逻辑中，通常把∀x,p(x) 解释为：对任何（或所有）x，命题p(x)成立。
这是不严谨的。
对任何x成立和对所有x成立并不一定是一回事，故不应该混淆，也不应该用同一个符号表示。为此，本文用∀x表示对所有x，用∀*x表示对任意x。
为了讨论方便，以下把∀称为全称量词，把∀*称为准全称量词。
容易证明：
∀x，p(x)一﹥∀*x，p(x)
这是因为，既然对所有的x，p(χ）都成立，对于任何一个x，p(x)当然也成立了。
但其逆命题，
∀*x，p(x)一﹥∀x，p(x)
就不一定成立了。
为了叙述方便，以下把上述逆命题称为可以将"任何"推广到"所有"即把准全称量词推广到全称量词。
有时候，将“任何”推广到“所有”，似乎是显然的。例如，口袋里任何一个球都是白色的，马上可以得出，口袋里所有的球都是白色的，但有时候就不那么简单了，例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名，并不能推出，班里所有人只要足够努力都能得到第一名， 这是因为，通常只能有一个或数个人是第一名。
再例如，有限或无限大的苹果园里任意一个苹果都可以放到某一个篮子里，并不等于苹果园里所有的苹果都可以放到这个篮子里，这是因为，篮子的容量是有限的，通常不可能放下所有苹果。
因此，严格来说，如果希望把“准全称量词”推广到“全称量词”，是需要经过证明的，例如可以用数学归纳法来进行证明或否证。
数学归纳法的步骤是，若要证明某命题p(n)对所有自然数n成立，则必须证明：
1）n足够小（例如n=1）时该命题成立，即p(1)成立，
2）假设对n=k时该命题成立，则可证明n=k+1时，该命题仍然成立，即若p(k)成立，则p(k+1)成立。
由于其中第一个步骤通常很容易验证，所以关键是第二个步骤。
例如，如果篮子的容量是最多放k个苹果， 则篮子可以放k个苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果，因此，任何一个苹果都可以放进篮子，并不能推出所有苹果都能放进篮子。
在花瓶和球悖论中，虽然可以将任意一个球取出，但不能将所有球取出。
---------------
花瓶和球悖论：假设有一个无穷大的花瓶和无穷多个球，球用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后，花瓶里有多少个球呢？
不要说是中国小学生，就是外国小学生也很容易回答这个问题：每次相当于放进了9个球，第n次操作后，剩下的球的数目是9n个，所以无穷次后，有无穷多个球。
这个结果显然是确定无疑的。
但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球，第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球，无限次后，所有编号的球都被拿出来了，所以最后没有球。
其逻辑基础是，既然任意一个球都能拿出，那么所有球就都能拿出。
所以，不加证明地以为，对“任何”成立，必然对“所有”成立，是错的，想得太简单了!
--------------
在对角线论证中，也有类似情形：
--------------
对角线论证：根据可列假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，
a1=0.a11a12a13....
a2=0.a21a22a23.... (1)
a3=0.a31a32a33....
.......
等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。 设
b=0.b1b2b3... (2)
bk≠akk, （k =1,2,3,...) （3）
容易证明，对任意k ，总存在bk≠akk，使得b=b1b2….bk时，ak≠b，即
∀*k，ak≠b （4）
与花瓶和球悖论一样，康托不加证明地将(4)推广至:
∀k，ak≠b （5）
从而与(1)已将实数一一列出形成矛盾。
-------------------
在以上推导中，在公式(4)及（4）之前一点问题都没有。到目前为止，思维不够严谨的康托及一般数学家的认知水平也就仅到此为止了。
然而，公式（4） 是用对角线元素akk推出来的，而对角线元素永远只存在于正方形无限矩阵中。由于小数的个数比小数位数多得多，所以有很多种方法可以证明(1)是一个长方形无限矩阵，例如，n位有限二进制小数有2n个，n 趋于为其时，Lim(2n/n)=∞，即（1）的行数是列数的高阶无穷大，是一个长方形无限矩阵，其中包含了正方形无限矩阵的元素，因此，（4）永远只能保证正方形矩阵中的那一部分小数不等于b，而无法保证长方形矩阵中的全部小数不等于b，即得不出(5)。
以下将用数学归纳法证明b始终在(1)中，即(5)不成立。
命题1:b∈{a1，a2，……}， （6）
证明，设用n表示小数的位数，
①对二进制小数，小数位数n=1时，(1)只有两个小数
0.a11
0.a21
根据（2）（3），
因为b=0.b1≠0.a11
所以只能b= 0.a21
即b在(1)中：
b∈{0.a11，0.a21}
公式（6）成立。
②设n=k时，
b=0.b1b2……bk在(1)内，即（6）成立
对于任何一个k位二进制小数，只要在末尾分别加上0和1，就变成了两个k+1位小数，所以，n=k+1时，(1)内必有
0.b1b2……bk0
和
0.b1b2……bk1
这两个小数。
由（3）可知，bk+1≠ak+1，k+1，而 ak+1，k+1要么等于1，要么等于0，所以上面两个数中必有一个是b=0.b1b2……bk+1，即b仍在(1)中，即（6）成立
这样，我们已经证明了（6），b始终在(1)中，即（5）不成立。
这里要注意，数学归纳法在证明的过程中，只需要也只能讨论有限的情况，比如我们在证明过程中讨论b时，只需要也只能讨论作为有限小数的b，但结果却可推广到作为无限小数的b。如果在证明过程中，就把b当做是无限小数，这在逻辑上是一种循环:把还没有得出的推导结果用到推导过程中了。
在没有证明的情况下就贸然将“任何”推广到“所有”，已经是不严谨的了，命题1则否证了可以将（4）推广到（5）。
所以，对角线并没有证明小数不可列。
其实，所谓对角线论证，本身就是自相矛盾的:既然已把所有小数都一一列出了，怎么还可能找到不在所列的小数呢？
出现了自相矛盾，理所当然应该去仔细检查推导的错误:这些自相矛盾是怎么出来的?怎么还好意思冠冕堂皇地把它拿出来当做科学真理呢？
命题1将永久性地把康托牢牢地捆绑在数学史的耻辱桩上。康托的追随者们是幡然醒悟？还是继续做康托的学术殉葬品？
康托的忠实追随者薛问天一直仔细看我的文章，这一点我是表示感谢的。但他的批评基本上都是错的，例如，明明矩阵的行数和列数都是有明确数学意义的，完全可以用数学分析研究，但这样一来，康托的错误就会暴露无遗，为了为康托辩护，他就禁止用数学分析来研究矩阵的行数和列数(他是谁呀？有这个资格吗？)，偏偏要把它硬扯到说不清道不明的无限集合元素数目或基数概念上，以为这样可以掩盖错误，浑水摸鱼了。
在zmn1056的评论中，我对他做了反批评。 他应该也是幡然醒悟的追随者之一，但是他有没有这个觉悟，就要看他的学术功底了。好好反思，天天向上去吧。
结论
混淆全称量词和准全称量词，不但必然造成悖论(例如花瓶与球悖论)，也必然造成错误(例如对角线论证中的错误)。
数理逻辑本身就不严谨，建立在数理逻辑基础之上的数学会严谨吗？
或许，数学需要重新启动？
高度的严谨是包括数学在内的任何科学的基本特点。 纠正康托高举“数学是自由的”大旗而造成的随意、不严谨的学风，是任何一个仍然坚持严谨学风的人的使命。
这是不严谨的。
对任何x成立和对所有x成立并不一定是一回事，故不应该混淆，也不应该用同一个符号表示。为此，本文用∀x表示对所有x，用∀*x表示对任意x。
为了讨论方便，以下把∀称为全称量词，把∀*称为准全称量词。
容易证明：
∀x，p(x)一﹥∀*x，p(x)
这是因为，既然对所有的x，p(χ）都成立，对于任何一个x，p(x)当然也成立了。
但其逆命题，
∀*x，p(x)一﹥∀x，p(x)
就不一定成立了。
为了叙述方便，以下把上述逆命题称为可以将"任何"推广到"所有"即把准全称量词推广到全称量词。
有时候，将“任何”推广到“所有”，似乎是显然的。例如，口袋里任何一个球都是白色的，马上可以得出，口袋里所有的球都是白色的，但有时候就不那么简单了，例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名，并不能推出，班里所有人只要足够努力都能得到第一名， 这是因为，通常只能有一个或数个人是第一名。
再例如，有限或无限大的苹果园里任意一个苹果都可以放到某一个篮子里，并不等于苹果园里所有的苹果都可以放到这个篮子里，这是因为，篮子的容量是有限的，通常不可能放下所有苹果。
因此，严格来说，如果希望把“准全称量词”推广到“全称量词”，是需要经过证明的，例如可以用数学归纳法来进行证明或否证。
数学归纳法的步骤是，若要证明某命题p(n)对所有自然数n成立，则必须证明：
1）n足够小（例如n=1）时该命题成立，即p(1)成立，
2）假设对n=k时该命题成立，则可证明n=k+1时，该命题仍然成立，即若p(k)成立，则p(k+1)成立。
由于其中第一个步骤通常很容易验证，所以关键是第二个步骤。
例如，如果篮子的容量是最多放k个苹果， 则篮子可以放k个苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果，因此，任何一个苹果都可以放进篮子，并不能推出所有苹果都能放进篮子。
在花瓶和球悖论中，虽然可以将任意一个球取出，但不能将所有球取出。
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花瓶和球悖论：假设有一个无穷大的花瓶和无穷多个球，球用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后，花瓶里有多少个球呢？
不要说是中国小学生，就是外国小学生也很容易回答这个问题：每次相当于放进了9个球，第n次操作后，剩下的球的数目是9n个，所以无穷次后，有无穷多个球。
这个结果显然是确定无疑的。
但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球，第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球，无限次后，所有编号的球都被拿出来了，所以最后没有球。
其逻辑基础是，既然任意一个球都能拿出，那么所有球就都能拿出。
所以，不加证明地以为，对“任何”成立，必然对“所有”成立，是错的，想得太简单了!
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在对角线论证中，也有类似情形：
--------------
对角线论证：根据可列假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，
a1=0.a11a12a13....
a2=0.a21a22a23.... (1)
a3=0.a31a32a33....
.......
等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。 设
b=0.b1b2b3... (2)
bk≠akk, （k =1,2,3,...) （3）
容易证明，对任意k ，总存在bk≠akk，使得b=b1b2….bk时，ak≠b，即
∀*k，ak≠b （4）
与花瓶和球悖论一样，康托不加证明地将(4)推广至:
∀k，ak≠b （5）
从而与(1)已将实数一一列出形成矛盾。
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在以上推导中，在公式(4)及（4）之前一点问题都没有。到目前为止，思维不够严谨的康托及一般数学家的认知水平也就仅到此为止了。
然而，公式（4） 是用对角线元素akk推出来的，而对角线元素永远只存在于正方形无限矩阵中。由于小数的个数比小数位数多得多，所以有很多种方法可以证明(1)是一个长方形无限矩阵，例如，n位有限二进制小数有2n个，n 趋于为其时，Lim(2n/n)=∞，即（1）的行数是列数的高阶无穷大，是一个长方形无限矩阵，其中包含了正方形无限矩阵的元素，因此，（4）永远只能保证正方形矩阵中的那一部分小数不等于b，而无法保证长方形矩阵中的全部小数不等于b，即得不出(5)。
以下将用数学归纳法证明b始终在(1)中，即(5)不成立。
命题1:b∈{a1，a2，……}， （6）
证明，设用n表示小数的位数，
①对二进制小数，小数位数n=1时，(1)只有两个小数
0.a11
0.a21
根据（2）（3），
因为b=0.b1≠0.a11
所以只能b= 0.a21
即b在(1)中：
b∈{0.a11，0.a21}
公式（6）成立。
②设n=k时，
b=0.b1b2……bk在(1)内，即（6）成立
对于任何一个k位二进制小数，只要在末尾分别加上0和1，就变成了两个k+1位小数，所以，n=k+1时，(1)内必有
0.b1b2……bk0
和
0.b1b2……bk1
这两个小数。
由（3）可知，bk+1≠ak+1，k+1，而 ak+1，k+1要么等于1，要么等于0，所以上面两个数中必有一个是b=0.b1b2……bk+1，即b仍在(1)中，即（6）成立
这样，我们已经证明了（6），b始终在(1)中，即（5）不成立。
这里要注意，数学归纳法在证明的过程中，只需要也只能讨论有限的情况，比如我们在证明过程中讨论b时，只需要也只能讨论作为有限小数的b，但结果却可推广到作为无限小数的b。如果在证明过程中，就把b当做是无限小数，这在逻辑上是一种循环:把还没有得出的推导结果用到推导过程中了。
在没有证明的情况下就贸然将“任何”推广到“所有”，已经是不严谨的了，命题1则否证了可以将（4）推广到（5）。
所以，对角线并没有证明小数不可列。
其实，所谓对角线论证，本身就是自相矛盾的:既然已把所有小数都一一列出了，怎么还可能找到不在所列的小数呢？
出现了自相矛盾，理所当然应该去仔细检查推导的错误:这些自相矛盾是怎么出来的?怎么还好意思冠冕堂皇地把它拿出来当做科学真理呢？
命题1将永久性地把康托牢牢地捆绑在数学史的耻辱桩上。康托的追随者们是幡然醒悟？还是继续做康托的学术殉葬品？
康托的忠实追随者薛问天一直仔细看我的文章，这一点我是表示感谢的。但他的批评基本上都是错的，例如，明明矩阵的行数和列数都是有明确数学意义的，完全可以用数学分析研究，但这样一来，康托的错误就会暴露无遗，为了为康托辩护，他就禁止用数学分析来研究矩阵的行数和列数(他是谁呀？有这个资格吗？)，偏偏要把它硬扯到说不清道不明的无限集合元素数目或基数概念上，以为这样可以掩盖错误，浑水摸鱼了。
在zmn1056的评论中，我对他做了反批评。 他应该也是幡然醒悟的追随者之一，但是他有没有这个觉悟，就要看他的学术功底了。好好反思，天天向上去吧。
结论
混淆全称量词和准全称量词，不但必然造成悖论(例如花瓶与球悖论)，也必然造成错误(例如对角线论证中的错误)。
数理逻辑本身就不严谨，建立在数理逻辑基础之上的数学会严谨吗？
或许，数学需要重新启动？
高度的严谨是包括数学在内的任何科学的基本特点。 纠正康托高举“数学是自由的”大旗而造成的随意、不严谨的学风，是任何一个仍然坚持严谨学风的人的使命。
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