在数理逻辑中，通常把∀x,p(x) 解释为：对任何（或所有）x，命题p(x)成立。
这是不严谨的。
如果我们把∀x解释为对所有的x，首先要保证“所有x”是存在的。
例如，自然数可以通过加1不断增加，这个过程永远不能完成，所以永远形成不了只有这个过程完成后才能得到的所有自然数。
打一个比方，如果不断有人进入一个无限大的广场，存在所有人都到齐了的那个时刻吗?
所以，建立在存在所有自然数基础上的理论是不可靠的。比如说，我们不可能写出所有自然数。
如果把∀x解释为对任何一个x，倒不需要保证“所有x”一定是存在的。仍然以自然数为例，虽然我们不可能写出所有自然数，但是我们完全可以写出任意一个自然数。
而且，在数学证明中，我们往往只能先证明某命题对任意x成立，然后才能考虑是不是能推广到对所有x成立。
这样一来，将∀x规定成对任意x比规定成对所有x更具有实用意义。
然而，“任何x”和“所有x”并不一定是一回事，例如，从语法上说，前者是单数，后者是复数。
因此，如果将∀x规定成对任意x，又希望把“任何”推广到“所有”，必须经过论证。
有时候，将“任何”推广到“所有”，似乎是显然的。例如，口袋里任何一个球都是白的，马上可以得出，口袋里所有的球都是白的，但有时候就不那么简单了，例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名，并不能推出，班里所有人只要足够努力都能得到第一名， 这是因为，通常只能有一个或数个人是第一名。再例如，有限大或无限大的苹果园里任意一个苹果都可以放到某一个篮子里，并不等于苹果园里所有的苹果都可以放到这个篮子里，这是因为，篮子的容量是有限的，通常不可能放下所有苹果。
因此，严格来说，如果希望把“任何”推广到“所有”，是需要经过证明的，例如可以用数学归纳法来进行证明或否证。
数学归纳法的步骤是，若要证明某命题对任何自然数n成立，则必须证明!
①n=1时该命题成立，
②若对任何n=k时该命题成立，需推出n=k+1时，该命题仍然成立。
由于其中第一个步骤通常很容易验证，所以关键是第二个步骤。
在第二个步骤中，只要存在一个n=k时命题成立，但n=k+1时命题不成立的情形，“任何”就不等于“所有”。
例如，如果篮子的容量是最多放k个苹果， 则篮子可以放k个苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果，因此，任何一个苹果都可以放进篮子，并不能推出所有苹果都能放进篮子。同理，在花瓶和球悖论中，根据可以将第k个球取出，也推不出可以将第k+1个球取出：取出第k个球之前，已有第k+1~10k个球已放入。
---------------
花瓶和球悖论：假设有一个无穷大的花瓶，并且假设有无穷多个球，每一个球都用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后，花瓶里有多少个球呢？
不要说是中国小学生，就是外国小学生也很容易回答这个问题：每次相当于放进了9个球，第n次操作后，剩下的球的数目是9n个，所以无穷次后，有无穷多个球。
但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球，第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球，无限次后，所有编号的球都被拿出来了，所以最后没有球。
所以，以为对“任何”成立，必然对“全体”成立，是错的！
--------------
在对角线论证中，只能证明“对任意k（k =1,2,3,...) ，存在bk≠akk，使得b=b1b2….bk时，ak≠b”：
--------------
对角线论证：根据可列假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，
a1=0.a11a12a13....
a2=0.a21a22a23.... (1)
a3=0.a31a32a33....
.......
等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。 设
b=0.b1b2b3... ， (2)
bk≠akk, （k =1,2,3,...) （3）
b≠ak（k =1,2,3,...) （4）
-------------------
对角线论证无法用数学归纳法证明可将（4）推广到（1）列出的所有实数：对任意k，我们并不知道bk+1为多少，当然也无法保证b=b1b2….bkbk+1时，b≠ak+1，即无法完成数学归纳法的第二个步骤。所以，对角线并没有证明小数不可列。
相反，在我的上一篇博文中，用数学归纳法非常简单且严格地证明了b始终在(1)内。
在没有证明的情况下就贸然将“任何”推广到“所有”是不严谨的。由于数理逻辑是罗素创立的，而康托在影响巨大的对角线论证中又用了这种不严谨的逻辑，所以，可以将这种不严谨称为罗素-康托式不严谨或错误。
这是不严谨的。
如果我们把∀x解释为对所有的x，首先要保证“所有x”是存在的。
例如，自然数可以通过加1不断增加，这个过程永远不能完成，所以永远形成不了只有这个过程完成后才能得到的所有自然数。
打一个比方，如果不断有人进入一个无限大的广场，存在所有人都到齐了的那个时刻吗?
所以，建立在存在所有自然数基础上的理论是不可靠的。比如说，我们不可能写出所有自然数。
如果把∀x解释为对任何一个x，倒不需要保证“所有x”一定是存在的。仍然以自然数为例，虽然我们不可能写出所有自然数，但是我们完全可以写出任意一个自然数。
而且，在数学证明中，我们往往只能先证明某命题对任意x成立，然后才能考虑是不是能推广到对所有x成立。
这样一来，将∀x规定成对任意x比规定成对所有x更具有实用意义。
然而，“任何x”和“所有x”并不一定是一回事，例如，从语法上说，前者是单数，后者是复数。
因此，如果将∀x规定成对任意x，又希望把“任何”推广到“所有”，必须经过论证。
有时候，将“任何”推广到“所有”，似乎是显然的。例如，口袋里任何一个球都是白的，马上可以得出，口袋里所有的球都是白的，但有时候就不那么简单了，例如班里任何人只要足够努力都可以得到第一名，并不能推出，班里所有人只要足够努力都能得到第一名， 这是因为，通常只能有一个或数个人是第一名。再例如，有限大或无限大的苹果园里任意一个苹果都可以放到某一个篮子里，并不等于苹果园里所有的苹果都可以放到这个篮子里，这是因为，篮子的容量是有限的，通常不可能放下所有苹果。
因此，严格来说，如果希望把“任何”推广到“所有”，是需要经过证明的，例如可以用数学归纳法来进行证明或否证。
数学归纳法的步骤是，若要证明某命题对任何自然数n成立，则必须证明!
①n=1时该命题成立，
②若对任何n=k时该命题成立，需推出n=k+1时，该命题仍然成立。
由于其中第一个步骤通常很容易验证，所以关键是第二个步骤。
在第二个步骤中，只要存在一个n=k时命题成立，但n=k+1时命题不成立的情形，“任何”就不等于“所有”。
例如，如果篮子的容量是最多放k个苹果， 则篮子可以放k个苹果时推不出篮子可以放k+1个苹果，因此，任何一个苹果都可以放进篮子，并不能推出所有苹果都能放进篮子。同理，在花瓶和球悖论中，根据可以将第k个球取出，也推不出可以将第k+1个球取出：取出第k个球之前，已有第k+1~10k个球已放入。
---------------
花瓶和球悖论：假设有一个无穷大的花瓶，并且假设有无穷多个球，每一个球都用自然数编号，执行下面的操作：第一次，往花瓶里放进1至10号球，同时取出1号球；第二次，往花瓶里放进11至20号球, 同时取出2号球.....,无穷次后，花瓶里有多少个球呢？
不要说是中国小学生，就是外国小学生也很容易回答这个问题：每次相当于放进了9个球，第n次操作后，剩下的球的数目是9n个，所以无穷次后，有无穷多个球。
但有的数学家是这样算的:第1次拿出了1号球，第2次拿出了2号球...第n次拿出了n号球，无限次后，所有编号的球都被拿出来了，所以最后没有球。
所以，以为对“任何”成立，必然对“全体”成立，是错的！
--------------
在对角线论证中，只能证明“对任意k（k =1,2,3,...) ，存在bk≠akk，使得b=b1b2….bk时，ak≠b”：
--------------
对角线论证：根据可列假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，
a1=0.a11a12a13....
a2=0.a21a22a23.... (1)
a3=0.a31a32a33....
.......
等号右端组成了一个无限大的矩阵。矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。 设
b=0.b1b2b3... ， (2)
bk≠akk, （k =1,2,3,...) （3）
b≠ak（k =1,2,3,...) （4）
-------------------
对角线论证无法用数学归纳法证明可将（4）推广到（1）列出的所有实数：对任意k，我们并不知道bk+1为多少，当然也无法保证b=b1b2….bkbk+1时，b≠ak+1，即无法完成数学归纳法的第二个步骤。所以，对角线并没有证明小数不可列。
相反，在我的上一篇博文中，用数学归纳法非常简单且严格地证明了b始终在(1)内。
在没有证明的情况下就贸然将“任何”推广到“所有”是不严谨的。由于数理逻辑是罗素创立的，而康托在影响巨大的对角线论证中又用了这种不严谨的逻辑，所以，可以将这种不严谨称为罗素-康托式不严谨或错误。
