对角线证明中的相等性假设和薛问天的逻辑混乱
李鸿仪
如所周知，对角线是用反证法证明的。
反证法的格式是先假定一个命题，然后推出矛盾，那就证明了这个命题是错误的，也就是说该命题的矛盾命题是正确的。其依据的逻辑规则是排中律:A与非A必有一个是对的。
从反证法的原理可以看出:反证法只能有一个假设，就是所要推翻的命题。这是因为，如果有两个甚至多个假定，即使导出了矛盾，也未必知道是哪一个假定导致矛盾呢？
然而，在对角线证明中除了所要推翻的可数假定外，还隐含了另外一个假定，这就是相等性假定。
我们知道，我们可以根据可数假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，
a1=0.a11a12a13....
a2=0.a21a22a23.... (1)
a3=0.a31a32a33....
.......
等号右端组成了一个无限大的矩阵。
矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。
由于小数的个数比小数的位数多得多，以二进制小数为例， 一位小数有两个，两位小数有四个，三位小数有八个……，所以(1)是一个无限大的长方形矩阵。
无限大的长方形矩阵在数学中早就存在，(1)只是一个例子【1】。
无限大长方形矩阵的存在直接证明了自然数集合并不是唯一的:无论是长方形矩阵的行数还是列数，都是自然数集合，既然是长方形矩阵，说明这两个自然数集合是不一样的。
无限大长方形矩阵的存在也直接证明了不存在全体自然数集合：既然自然数集合不是唯一的，在有多个自然数集合的时候，哪一个才是由全体自然数组成的集合？。
这些对集合论其实都是根本性的挑战【2，3】，充分说明集合论需要革命性的重建【4】。。
以下则还会看到，承认长方形矩阵的存在。还将直接推翻对角线证明。
对角线论证的关键部分是定义了b
b=0.b1b2b3...， (2)
这里,
bk≠akk, （k=1,2,3,...) （3）
根据(3)，k=1时，b1≠a11，我们只考察了矩阵的1行1列，被考察的行数严格等于列数；k=2时，b2≠a22，我们共考察了矩阵的2行2列，被考察的行数也严格等于列数……也就是说，对角线证明是在行数精确等于列数的情况下才能得到最为关键的b的，所以对角线证明是在假定行数和列数精确相等的前提下进行的，为讨论方便，将该假定称为相等性假设。
也就是说，对角线证明中有着两个假定:一个是可数假定，一个就是相等性假定。
显然，符合相等性假设的并不是(1)所示的无限大的长方形矩阵，而是(1)中包含的无限大的正方形矩阵。
由于(3)式只考察了这个正方形矩阵中的各对角线元素。由此得到的b不同于该正方形矩阵内的任一个小数，与相等性假设矛盾: 行数与列数并不相等，行数比列数至少多了1。
也就是说，对角线证明了相等性假设不成立，那么是不是证明了小数不可数呢？
如果要证明小数不可数，就必须证明b不在(1)所示的长方形矩阵里面，显然康托并没有做到这一点。
因此，对角线证明只是否定了相互独立的两个假设中的相等性假设，并没有否定最关键的可数假设，也就是说，对角线证明并没有证明实数不可数。
这里要注意，在没有证明不可数集合存在之前，我们并不知道世界上还存在着不可数集合，所以这时候自然而然就会把所有集合都看成是可数的，即不需要可数假定也会写出(1)。但既然实际上对角线证明是在相等性假设下进行的，所以实际上应该将整个对角线证明改写成:假定小数的个数和位数相等，则将小数一一列出得到的(1)为一无限大的正方形矩阵，但由(2)(3)定义的b不在该正方形矩阵内，形成矛盾，所以对角线论证证明了相等性假设不成立。
从这里可以看到，无论是开始还是最后，上述实际上的对角线论证与可数不可数一点关系都没有。
打一个比方，康托在他要打倒的真人(可数假定)旁用纸做了一个不存在的假人(相等性假设)，一拳把假人打倒后，宣称打倒了真人！
居然下面有人喝彩，其中有一个人的名字叫罗素，另一个人的名字叫希尔伯特。
事实上，由于(1)是长方形矩阵，本来就不符合相等性假设，所以对角线证明只不过推翻了一个本来不需要推翻的假设。或者说，对角线证明其实什么也没有证明。
但数学史甚至人类的思想史却走过了一个大大的，本来根本就不需要走的弯路。
结论
在对角线证明中，有两个独立的假设:可数假设和相等性假设，违反了反证法的基本原理，所以对角线论证不能成立。 更仔细的分析表明，对角线论证其实仅仅证伪了相等性假设，与可数假定一点关系都没有。
由于相等性假设本来就是错的，根本就不需要证伪，所以对角线其实什么也没有证明，但在一些名人的吹捧下，却被给予了崇高的历史地位，简直就像“皇帝的新衣”
至于后续的所谓超穷数理论，连续统假设，大基数理论，当然也就成了无本之木，毫无意义，但却花费了数代数学家大量的精力，不但浪费了大量的时间，而且还摧毁了人们正常的思维能力，可谓有百害而无一利， 必须予以尽快纠正。
数学需要被拯救！
再次呼吁教育部门暂停无限集合的相关教学，以免误人子弟。
李鸿仪
如所周知，对角线是用反证法证明的。
反证法的格式是先假定一个命题，然后推出矛盾，那就证明了这个命题是错误的，也就是说该命题的矛盾命题是正确的。其依据的逻辑规则是排中律:A与非A必有一个是对的。
从反证法的原理可以看出:反证法只能有一个假设，就是所要推翻的命题。这是因为，如果有两个甚至多个假定，即使导出了矛盾，也未必知道是哪一个假定导致矛盾呢？
然而，在对角线证明中除了所要推翻的可数假定外，还隐含了另外一个假定，这就是相等性假定。
我们知道，我们可以根据可数假定将小数a1,a2,a3…….一一列出，
a1=0.a11a12a13....
a2=0.a21a22a23.... (1)
a3=0.a31a32a33....
.......
等号右端组成了一个无限大的矩阵。
矩阵的行数表示所列小数的个数，列数则表示所列小数的位数。
由于小数的个数比小数的位数多得多，以二进制小数为例， 一位小数有两个，两位小数有四个，三位小数有八个……，所以(1)是一个无限大的长方形矩阵。
无限大的长方形矩阵在数学中早就存在，(1)只是一个例子【1】。
无限大长方形矩阵的存在直接证明了自然数集合并不是唯一的:无论是长方形矩阵的行数还是列数，都是自然数集合，既然是长方形矩阵，说明这两个自然数集合是不一样的。
无限大长方形矩阵的存在也直接证明了不存在全体自然数集合：既然自然数集合不是唯一的，在有多个自然数集合的时候，哪一个才是由全体自然数组成的集合？。
这些对集合论其实都是根本性的挑战【2，3】，充分说明集合论需要革命性的重建【4】。。
以下则还会看到，承认长方形矩阵的存在。还将直接推翻对角线证明。
对角线论证的关键部分是定义了b
b=0.b1b2b3...， (2)
这里,
bk≠akk, （k=1,2,3,...) （3）
根据(3)，k=1时，b1≠a11，我们只考察了矩阵的1行1列，被考察的行数严格等于列数；k=2时，b2≠a22，我们共考察了矩阵的2行2列，被考察的行数也严格等于列数……也就是说，对角线证明是在行数精确等于列数的情况下才能得到最为关键的b的，所以对角线证明是在假定行数和列数精确相等的前提下进行的，为讨论方便，将该假定称为相等性假设。
也就是说，对角线证明中有着两个假定:一个是可数假定，一个就是相等性假定。
显然，符合相等性假设的并不是(1)所示的无限大的长方形矩阵，而是(1)中包含的无限大的正方形矩阵。
由于(3)式只考察了这个正方形矩阵中的各对角线元素。由此得到的b不同于该正方形矩阵内的任一个小数，与相等性假设矛盾: 行数与列数并不相等，行数比列数至少多了1。
也就是说，对角线证明了相等性假设不成立，那么是不是证明了小数不可数呢？
如果要证明小数不可数，就必须证明b不在(1)所示的长方形矩阵里面，显然康托并没有做到这一点。
因此，对角线证明只是否定了相互独立的两个假设中的相等性假设，并没有否定最关键的可数假设，也就是说，对角线证明并没有证明实数不可数。
这里要注意，在没有证明不可数集合存在之前，我们并不知道世界上还存在着不可数集合，所以这时候自然而然就会把所有集合都看成是可数的，即不需要可数假定也会写出(1)。但既然实际上对角线证明是在相等性假设下进行的，所以实际上应该将整个对角线证明改写成:假定小数的个数和位数相等，则将小数一一列出得到的(1)为一无限大的正方形矩阵，但由(2)(3)定义的b不在该正方形矩阵内，形成矛盾，所以对角线论证证明了相等性假设不成立。
从这里可以看到，无论是开始还是最后，上述实际上的对角线论证与可数不可数一点关系都没有。
打一个比方，康托在他要打倒的真人(可数假定)旁用纸做了一个不存在的假人(相等性假设)，一拳把假人打倒后，宣称打倒了真人！
居然下面有人喝彩，其中有一个人的名字叫罗素，另一个人的名字叫希尔伯特。
事实上，由于(1)是长方形矩阵，本来就不符合相等性假设，所以对角线证明只不过推翻了一个本来不需要推翻的假设。或者说，对角线证明其实什么也没有证明。
但数学史甚至人类的思想史却走过了一个大大的，本来根本就不需要走的弯路。
结论
在对角线证明中，有两个独立的假设:可数假设和相等性假设，违反了反证法的基本原理，所以对角线论证不能成立。 更仔细的分析表明，对角线论证其实仅仅证伪了相等性假设，与可数假定一点关系都没有。
由于相等性假设本来就是错的，根本就不需要证伪，所以对角线其实什么也没有证明，但在一些名人的吹捧下，却被给予了崇高的历史地位，简直就像“皇帝的新衣”
至于后续的所谓超穷数理论，连续统假设，大基数理论，当然也就成了无本之木，毫无意义，但却花费了数代数学家大量的精力，不但浪费了大量的时间，而且还摧毁了人们正常的思维能力，可谓有百害而无一利， 必须予以尽快纠正。
数学需要被拯救！
再次呼吁教育部门暂停无限集合的相关教学，以免误人子弟。
