带吸收壁的随机游走，搜这个应该有不少答案

这边多说两句，一般研究这种“醉汉回家”式的随机游走考虑的是对原点的常返性而不是立一个吸收壁，结论是随机游走的维数不低于3维时是暂留的，通俗来讲就是一个大于等于3维的空间中醉汉从家出发，他总能离家足够近的概率是0，预期回到家的时长是无穷。对带吸收壁的一维随机游走，一个吸收壁更常见于靶子吸收粒子之类，而讨论能不能拦停这个粒子要有两个吸收壁，结论是两个吸收壁能够把这个粒子以概率1吸收

确实是无穷大，简单的计算状态转移矩阵就可以得出这个结果

舒幼生力学上最后的数学补充内容习题居然刚好有，期望是无穷大

请问楼主可以这样考虑吗

布朗运动

你这个问题等价于，醉汉每△t的时间有0.5的概率走△x的距离，0.5的概率走-△x的距离，那么X(t)服从均值为0，方差为t*σ^2的正态分布，我们称{X(t),t＞＝0}为一个布朗运动，σ^2取决于△t和△x的比值，当σ^2＝1的时候我们称之为标准布朗运动

给定一个实数a，醉汉在t时间内走过距离＞a的概率为P(X＞a|t)，则t的期望值为t*P(X＞a|t)从0积到正无穷，结果是无穷，＜a的情况显然也是无穷

这个积分你可以自己去做做看，或者用软件帮你算，再或者你都不想算，就代入一个a＝0的特殊情况，此时不管t的取值如何，P(X＞0|t)恒等于0.5，那么t的期望值则变成0.5t从0积到正无穷，结果显然是无穷

再或者，不计算，直接判断积分的收敛性，我们都知道如果一个无穷级数的最后一项如果不等于0，则级数发散，积分也是一样的，当t趋向于∞时，t*P(X＞a|t)应该趋向于0，不然这个积分显然是发散的，但别说t*P(X＞a|t)，就是P(X＞a|t)都不趋向于0

你可能会问你要的是离散情况下P(X＝a|t)，但是其实这是一样的，这跟连续情况下P(a＜X＜b|t)等价，结果依然是无穷