有界函数可积说的是黎曼可积。广义积分某种意义上是对黎曼可积的推广。

你这是算的柯西主值

书上说的“可积”指的是按照普通积分的方式可积，或者又叫“Riemann可积”。
但是后来，人们实在是希望算一些无界函数的积分，所以才发明了反常积分。反常积分和原来的东西就不一样了，不是Riemann积分，所以反常积分能算不代表Riemann可积。