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质数里末两位为01、03、07……97、99的概率是否均等?

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这是1373以内的质数表。可以看出,31,131,331,431,631,1031,1231为质数,占比很高,另外还知道一件有趣的事,31,331,3331,33331,333331,3333331,33333331均为质数,不免让人怀疑末尾为31的数为质数的可能性更大。为了确认这个想法,我提出了一个问题:质数里末两位为01、03、07……97、99的概率是否均等?


IP属地:四川1楼2019-05-16 11:25回复
    说一下我的思路。
    比如说你拿21和31出来,以21结尾的正整数,很明显,去除个位和十位,如果能被3整除,这个数就能被3整除,如果能被7整除,这个数就能被7整除,而以31结尾的正整数则没有这么直观。如果能证明31结尾和21结尾一样,百位以上均匀变化的时候,XXX31被3整除的概率为1/3,被7整除的概率为1/7,被9整除的概率为1/9,被11整除的概率为1/11,则说明末两位是31对于3、7、9、11等数整除的难度不比21难。对于其他数结尾的也是同理。然后还需要证明,对9整除没有障碍能推出对59整除没有障碍诸如此类的问题,就可以说明末两位是这些数为质数的概率是相等的,否则就是不相等的


    IP属地:四川3楼2019-05-16 11:28
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      弱弱滴问一句:无限数集合可以这样求概率吗?举个例子,除非你能证明尾数为01和03的质数数量是有限的,否则这两类质数数量应该都是无限多的,怎么比较概率?


      IP属地:江苏来自Android客户端4楼2019-05-16 11:52
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        你这题在数学里是一道错题。因为不能在质数集里等概率抽取质数,所以你要有分布函数,才能形成概率空间。你可以问比如10位以内的质数中,01,03,....09结尾的质数出现的概率。但这和你想问的问题是不一样的。
        类似的还有,比如“在整数中随机抽取一个数,是1结尾的概率是多少?” 这种题看起来是1/10,但实际上题目本身是错的,因为整数集不能等概率抽取1个数。所以要说明概率分布之后才能做


        IP属地:广东5楼2019-05-16 11:59
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          刚看错题了,你这个问题可以先用计算机验验


          IP属地:四川7楼2019-05-16 12:14
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            IP属地:四川8楼2019-05-16 12:40
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              根据狄利克雷定理,是均等的


              IP属地:上海9楼2019-05-16 13:08
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                事实上可以用Dirichlet的一个著名定理:记π(x; m, a)为不超过x的mod m的同余于a素数个数,π(x)为不超过x的素数个数,则
                π(x; m, a)~1/φ(m) x/logx
                π(x)~x/logx
                这可以告诉我们
                π(x; m, a)/π(x) ~ 1/φ(m)
                取m=100我们可以回答楼主这些概率(自然密度)是相等的。


                IP属地:英国来自Android客户端11楼2019-05-16 14:46
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