性质1：圆锥曲线第二定义：
CF1=e*CD

抛物线和双曲线有类似性质
这个性质实在是太简单了，我们看下一个

性质2：圆锥曲线的第一定义
CF_1+CF_2=2a

双曲线有类似定义
这个性质可能更加简单？？我们继续

性质3：圆锥曲线的光学性质
以椭圆为例
直线CF_1与CF_2关于C点处椭圆的切线（或法线）对称

以椭圆为例下给出证明：
设某动点C的轨迹为椭圆，它在C点处的速度方向为CP方向
由于CF_1+CF_2为定长，故速度在CF_1与CE方向上分量大小相等
因此sin∠PCF_1=sin∠PCE
即∠PCF_1=∠QCF_2
即直线CF_1与CF_2关于C点处切线（或法线）对称

以上是三个最基本、最“初等”的性质，现在来看一道例题
[2018全国一卷]
如图椭圆中心在原点，F和F_2在x轴上为其焦点，E为其准线与x轴的焦点
CD为过F的焦点弦，求证∠CEF=∠DEF

为了描述点C,D的性质，结合CD为焦点弦，可以考虑椭圆第二定义，
如图作C,D在准线上的投影M,N
则CF=eCM,DF=eDN，其中e为离心率
故CF/DF=CM/DN①

设∠CEF=α，∠DEF=β，则∠MCE=α，∠NDE=β
CF/DF=S(△CEF)/S(△DEF)=(0.5CE*EF*sinα)/(0.5DE*EF*sinβ)
=(CEsinα)/(EF*sinβ)=(CM/cosα *sinα)/(DN/cosβ *sinβ)=(CM/DN)*(tanα/tanβ)
该式与①对比，即得tanα/tanβ=1
即α=β，证毕

也许6楼的2018年高考题你写上去还不一定扣分（因为没哪里超纲）
而且如果是平常当成练习题不用动笔就能口算，感觉钻了空子，真刺激
这就是纯几何的魅力所在
但是！现在我们就要开始一些一去不返的道路了
我们需要了解一下三个纯几何利器：
1.仿射变换
2.射影几何
3.极点与极线
限于本帖的目的，在此不会详细介绍它们，当然你可以在数竞书籍中（如小丛书的平几篇）中找到它们

成功的激起了我对数学的热情

点一手关注

由于本帖也许还有高考党，在此先粗略解释一下
1.仿射变换
相当于图片.png的拉伸，这个极其适合处理有关椭圆的问题
为什么呢？
比如这是个椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)

我们拉伸一下它，或者专业一点叫做改变x轴的比例尺（这个操作似乎在三角函数图像那一章经常出现）
更专业一点，我们可以让所有横坐标x变成x'，其中x=ax'/b (x'=bx/a)

就能变成一个圆
这是（理所应当）因为若x²/a²+y²/b²=1
那么由于x=ax'/b
故x'²/b²+y²/b²=1，它是一个圆
以上操作就叫做仿射变换
首先，如果ABC三个点在一条直线上，经过仿射变换后A'B'C'仍在一条（新的）直线上
这很好理解，可以随意地想象一下
其次，仿射变换后直线的斜率成正比例变换
这是因为变换前k=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)
变换后k'=(y_2-y_1)/(x'_2-x'_1)=a/b*((y_2-y_1)/(x_2-x_1))=ak/b
这是正比例变化的

-

性质4：已知椭圆上一点与其x轴（或y轴）两顶点连线的斜率乘积为定值

事实上，我们可以如法炮制11L的操作
将A点变到A'，B对应B'，C对应C'，则A',B',C'都在x²/b²+y²/b²=1这个圆上
所以，我们突然就知道C'A'与C'B'垂直
即k(C'A')*k(C'B')=-1

根据10L，我们还知道斜率的变化关系：
k(C'A')=ak(CA)/b ,
k(C'B')=ak(CB)/b
因此k(CA)*k(CB)=-b²/a²为定值

收藏收藏，有几个东西一直不知道证明

性质5：已知的椭圆中CD为任意一弦，M为其中点，求证OM与CD斜率乘积为定值
在学校范畴内，我们一般使用“中点弦”的方法进行证明，我们在这里使用仿射变换进行证明

我们再次如法炮制
A点对应A'，B对应B'，C对应C'，D对应D'，M对应M'...
此外，我们还会惊奇地发现O点没有变化（它仿射变换后还在原点）
此外的此外，我们必须指出，M'仍然是C'D'的中点，这一点“压缩图片”的观点来看是显而易见的

因此在这个圆里，由垂径定理知OM'垂直C'D'
即k(C'D')*k(OM')=-1
类似13L，我们知道
k(C'D')=ak(CD)/b
k(OM')=ak(OM)/b
故k(CD)k(OM)=-b²/a²，是一个定值

这里又来一个例题，它的构图复杂，标答...更加复杂
让我们使用仿射变换解决它

如图，椭圆中CD为过原点O的任意一弦,P,Q为椭圆上任意两动点（在CD同侧），CQ,DP交于点R，DQ,CP交于点H，求证k(CD)*k(RH)为定值
同样地仿射变换，为了提升熟练度我们不再标撇号，直接看下图
（实际上是我懒）
我们只需要在下图中证明CD与RH斜率乘积为常数，其中CQPD都在一个圆上

事实上，现在CD是直径啦，所以∠CQD=∠CPD=90°
因此H为三角形CRD垂心
所以k(CD)*k(RH)=-1
回到原题即有k(CD)*k(RH)=-b²/a²
是不是很简单啊