数学悖论证明：正整数集N+不存在
现在，我们对正整数集N＋＝｛1，2，3，…，n，…｝的一类子集下定义：设A是N＋的一个子集，若A的所有元素可以排列成为一个等差数列（以1为数列第1项，公差为1）的形式，我们就称A为正整数等差数列集。
例如B＝｛1，2，3｝，B是N＋的一个子集，B的所有元素可以排列成为一个以1为数列第1项、公差为1的等差数列的形式：1，2，3，因此B是一个正整数等差数列集。
设W为由所有的有穷正整数等差数列集组成的集合，因此，W的每个元素都是有穷集。我们知道，N＋是正整数等差数列集，是无穷集，所以N＋不是W的元素。
真子集的定义：如果集合B的每一个元素都属于A，但集合A中至少有一个元素不属于B，则称B为A的真子集。
由真子集的定义可直接推出定理（一）：设B是集合A的真子集，将B的所有元素从A中删除掉后，A不能变成空集。
定理（一）的适用范围：
由于定理（一）是单纯由真子集的原始定义直接推出的定理，因此，定理（一）中的A可以是任何有真子集的集合，例如正整数等差数列集；定理（一）中的真子集B也可以是任何集合，例如正整数等差数列集，只要B是A的真子集就行。
我们按下面的规则从“正整数等差数列集A”中删除元素：
（1）要求：从A中删除掉的元素的全体必须是A的一个真子集，设此真子集为B。
（2）要求：真子集B 必须是一个正整数等差数列集。”
说明：
从“正整数等差数列集A”中删除元素必须同时满足（1）和（2）这两个规则。
例如，对于集合W的元素f5＝｛1，2，3，4，5｝，按删除元素规则，可以从f5中删除掉1和2这两个元素，因为由这两个元素组成的集合｛1，2｝是一个正整数等差数列集，并且集合｛1，2｝又是集合f的真子集，这同时满足规则（1）和（2）；
从“正整数等差数列集A”中删除元素的规则，简称为删规。
根据定理（一）可知，因为删规中的B是集合A的真子集，因此，按照删规从A中删除元素，不可能将A删成为空集。
由定理（一）的适用范围可知，删规中的集合A和B可以是正整数等差数列集，也可以是无穷集。
我们知道，W为由所有的有穷正整数等差数列集组成的集合。
设m为按照删规从W的元素fn中最多能够删除掉的元素的数目，即从A中能够删除掉的元素的数目的上限。
我们容易知道：
对于集合W的元素f1＝｛1｝，m1＝0个，即从集合f1中最多能够删除掉“0个”元素；
对于集合W的元素f2＝｛1，2｝，m2＝1个，即从集合f2中最多能够删除掉“1个”元素；
对于集合W的元素f3＝｛1，2，3｝，m3＝2个，即从集合f3中最多能够删除掉“2个”元素。
容易知道，对于集合W的元素fn（注意，N+不是W的元素），按照删规，从A中能够删除掉的元素的数目的上限的公式为：
m＝（n－1）
其中n是正整数等差数列集fn包含的元素的数目，即n是集合fn的基数。
容易知道：N+与W的元素fn 相比较，按照删规，从N+中能够删除掉的元素的数目是最多的，即从N+中能够删除掉的元素的数目，大于W的任一元素fn所对应的m。
下面证明这一定理：
对于W的任一元素fn，m＝（n－1），按照删规，从fn中最多能够删除掉“（n－1）个”元素；而对于N+＝｛1，2，3，…，n，…｝，按照删规，从集合N+中能够删除掉n个元素，因为n个＞（n－1）个，
所以有定理二：
按照删规，“从N+中能够删除掉的元素数目”，大于W的任一元素fn对应的m。
定义：若a是W的一个元素对应的m，则a属于集合E。容易知道，无穷集E＝｛0，1，2，…，n，…｝＝自然数集N。
由此得出定理三：
按照删规，“从集合N+中能够删除掉的元素数目”，大于E＝｛0，1，2，…，n，…｝中的每个自然数。
我们容易知道，若“从N+中能够删除掉的元素数目”， 大于E＝｛0，1，2，…，n，…｝中的任一元素，则“从N+中能够删除掉的元素数目”一定是无穷多＝阿列夫零。因为基数的从小到大的排列顺序为：
0，１，２，3，4，5，…，n－1，n，…，阿列夫零，阿列夫，…
因此，有定理四：
按删规，从集合N+中能够删N+除掉的元素数目＝阿列夫零。
因为按删规， 从集合N+中能够删除掉阿列夫零个元素，并且从N+中删除掉的元素的全体是一个正整数等差数列集B，B＝N＋＝｛1，2，3，…，n，…｝，故将N+删成了空集。
这与删规相矛盾，故有定理：
正整数集N+不存在。
现在，我们对正整数集N＋＝｛1，2，3，…，n，…｝的一类子集下定义：设A是N＋的一个子集，若A的所有元素可以排列成为一个等差数列（以1为数列第1项，公差为1）的形式，我们就称A为正整数等差数列集。
例如B＝｛1，2，3｝，B是N＋的一个子集，B的所有元素可以排列成为一个以1为数列第1项、公差为1的等差数列的形式：1，2，3，因此B是一个正整数等差数列集。
设W为由所有的有穷正整数等差数列集组成的集合，因此，W的每个元素都是有穷集。我们知道，N＋是正整数等差数列集，是无穷集，所以N＋不是W的元素。
真子集的定义：如果集合B的每一个元素都属于A，但集合A中至少有一个元素不属于B，则称B为A的真子集。
由真子集的定义可直接推出定理（一）：设B是集合A的真子集，将B的所有元素从A中删除掉后，A不能变成空集。
定理（一）的适用范围：
由于定理（一）是单纯由真子集的原始定义直接推出的定理，因此，定理（一）中的A可以是任何有真子集的集合，例如正整数等差数列集；定理（一）中的真子集B也可以是任何集合，例如正整数等差数列集，只要B是A的真子集就行。
我们按下面的规则从“正整数等差数列集A”中删除元素：
（1）要求：从A中删除掉的元素的全体必须是A的一个真子集，设此真子集为B。
（2）要求：真子集B 必须是一个正整数等差数列集。”
说明：
从“正整数等差数列集A”中删除元素必须同时满足（1）和（2）这两个规则。
例如，对于集合W的元素f5＝｛1，2，3，4，5｝，按删除元素规则，可以从f5中删除掉1和2这两个元素，因为由这两个元素组成的集合｛1，2｝是一个正整数等差数列集，并且集合｛1，2｝又是集合f的真子集，这同时满足规则（1）和（2）；
从“正整数等差数列集A”中删除元素的规则，简称为删规。
根据定理（一）可知，因为删规中的B是集合A的真子集，因此，按照删规从A中删除元素，不可能将A删成为空集。
由定理（一）的适用范围可知，删规中的集合A和B可以是正整数等差数列集，也可以是无穷集。
我们知道，W为由所有的有穷正整数等差数列集组成的集合。
设m为按照删规从W的元素fn中最多能够删除掉的元素的数目，即从A中能够删除掉的元素的数目的上限。
我们容易知道：
对于集合W的元素f1＝｛1｝，m1＝0个，即从集合f1中最多能够删除掉“0个”元素；
对于集合W的元素f2＝｛1，2｝，m2＝1个，即从集合f2中最多能够删除掉“1个”元素；
对于集合W的元素f3＝｛1，2，3｝，m3＝2个，即从集合f3中最多能够删除掉“2个”元素。
容易知道，对于集合W的元素fn（注意，N+不是W的元素），按照删规，从A中能够删除掉的元素的数目的上限的公式为：
m＝（n－1）
其中n是正整数等差数列集fn包含的元素的数目，即n是集合fn的基数。
容易知道：N+与W的元素fn 相比较，按照删规，从N+中能够删除掉的元素的数目是最多的，即从N+中能够删除掉的元素的数目，大于W的任一元素fn所对应的m。
下面证明这一定理：
对于W的任一元素fn，m＝（n－1），按照删规，从fn中最多能够删除掉“（n－1）个”元素；而对于N+＝｛1，2，3，…，n，…｝，按照删规，从集合N+中能够删除掉n个元素，因为n个＞（n－1）个，
所以有定理二：
按照删规，“从N+中能够删除掉的元素数目”，大于W的任一元素fn对应的m。
定义：若a是W的一个元素对应的m，则a属于集合E。容易知道，无穷集E＝｛0，1，2，…，n，…｝＝自然数集N。
由此得出定理三：
按照删规，“从集合N+中能够删除掉的元素数目”，大于E＝｛0，1，2，…，n，…｝中的每个自然数。
我们容易知道，若“从N+中能够删除掉的元素数目”， 大于E＝｛0，1，2，…，n，…｝中的任一元素，则“从N+中能够删除掉的元素数目”一定是无穷多＝阿列夫零。因为基数的从小到大的排列顺序为：
0，１，２，3，4，5，…，n－1，n，…，阿列夫零，阿列夫，…
因此，有定理四：
按删规，从集合N+中能够删N+除掉的元素数目＝阿列夫零。
因为按删规， 从集合N+中能够删除掉阿列夫零个元素，并且从N+中删除掉的元素的全体是一个正整数等差数列集B，B＝N＋＝｛1，2，3，…，n，…｝，故将N+删成了空集。
这与删规相矛盾，故有定理：
正整数集N+不存在。
