高斯，还愣着干什么，上

我确信已找到了一个极佳的证明，但评论区太小了写不下。

熟

纯几何吧2300

辅助线：
联结四边形FKEI、BKCJ的边和对角线，其中两个四边形的对角线交点分别为G和D'；联结KA、KB等线段；......

证明：
1.确认D'、D位置及BC线段关系
∵四边形BKCJ的对角线KJ和BC的交点为D'(已作)
点D、E、F分别在BC、AC、AB上(已知)
∴点D'、D在BC上(共线的性质)
∴BC=BD'+CD',BC=BD+CD(线段的性质)
|D'D|=|BD-BD'|=|CD-CD'|(线段的性质)
2.推导内心I的性质
∵I是△ABC的内心(已知)
∴AI是∠CAB的平分线,BI是∠ABC的平分线,CI是∠BCA的平分线
ID⊥BC,IE⊥AC,IF⊥AB
ID=IE=IF
(内心的性质)
∵点D、E、F分别在BC、AC、AB上(已知)
ID⊥BC,IE⊥AC,IF⊥AB(已证)
∴IF⊥BF,ID⊥BD
ID⊥DC,IE⊥EC
IE⊥AE,IF⊥AF
(共线的性质)
∵ IF⊥BF,ID⊥BD,IF=ID,BI=BI
ID⊥DC,IE⊥EC,ID=IE,CI=CI
IE⊥AE,IF⊥AF,IE=IF,AI=AI
（已证)
∴Rt△FBI≌Rt△DBI且公共斜边为BI;
Rt△DCI≌Rt△ECI且公共斜边为CI;
Rt△EAI≌Rt△FAI且公共斜边为AI.
(直角三角形的判定、H.L.)
∴BF=BD;CD=CE;AE=AF(全等三角形的对应边相等)
3.证明五点共圆
∵Rt△EAI≌Rt△FAI且公共斜边为AI(已证)
∴A、F、E、I四点共圆(推论：斜边相同的两个直角三角形共圆)
∴点I在△AEF的外接圆上(四点共圆是三点共圆的充分不必要条件)
∵△AFE和△ABC的外接圆交于点K,AI的延长线交△ABC外接圆于点J(已知)
∴K、A、F、E、I五点共圆，K、A、B、C、J五点共圆(五点共圆的判定)
4.在两个外接圆上证明圆周角的等量关系
∵点J在AI的延长线上，点E、F分别在AC、AB上(已知)
∴∠FAI=∠BAJ,∠CAJ=∠EAI
∠BAC=∠FAE,
∠KAB=∠KAF
(共线的性质)
∵AI是∠CAB的平分线(已证)
∴∠BAJ=∠CAJ(角平分线的性质)
∴∠FAI=∠BAJ=∠CAJ=∠EAI(等量代换)
∴BI=CI,FI=EI(等角对等弦)
∵BI=BI,CI=CI;FI=FI,EI=EI;(等式性质)
BI=CI,FI=EI;(已证)
∠FAI=∠BAJ=∠CAJ=∠EAI(已证)
∴∠BKJ=∠BCJ=∠BAJ=∠CAJ=∠CBJ=∠CKJ
(=)∠FKI=∠FEI=∠FAI=∠EAI=∠IFE=∠IKE
(等弦对等角、等量代换)
∵KB=KB,KF=KF(等式性质)
∠KAB=∠KAF(已证)
∴∠KCB=∠KJB=∠KAB=∠KAF=∠KEF=∠KIF(等弦对等角、等量代换)
∵BC=BC,FE=FE(等式性质)
∠BAC=∠FAE(已证)
∴∠BKC=∠BAC=∠FAE=∠FKE(等弦对等角、等量代换)
5.利用角的和差关系，证明∠KEI=∠KCJ、∠BKF=∠CKE
∵∠KEF=∠KCB,∠FEI=∠BCJ(已证)
∠KEI=∠KEF+∠FEI,∠KCJ=∠KCB+∠BCJ(角的基本性质)
∴∠KEI=∠KCJ(等量代换)
∵∠BKC=∠FKE(已证)
∠BKC=∠BKF+∠FKC,∠FKE=∠FKC+∠CKE(角的基本性质)
∴∠BKF=∠CKE(等量代换)

6.证明相似和等比
∵∠FEI=∠BCJ,∠FIE=∠BIC(已证)
∴△FIE∽△BJC(AA)
∴∠FIE=∠BJC(相似三角形的对应角相等)
∵∠FKE=∠BKC,∠KEI=∠KCJ,∠FIE=∠BJC(已证)
∴(四边形)FKEI∽BKCJ(AAA)
∴KF:KB=KE:KC(相似多边形对应线段之比等于相似比)
∵KF:KB=KE:KC,∠BKF=∠CKE(已证)
∴△BKF∽△CKE(S.A.S)
∴KB:KC=BF:CE(相似三角形的对应边成比例)
∵∠BKJ=∠CKJ(已证)
∴KB:KC=D'B:D'C(角平分线的性质)
∵BF=BD;CD=CE(已证)
∴BF:CE=BD:CD(比例的性质)
7.证明BD'=BD,CD=C'D，点D'、D重合
∵KB:KC=BF:CE,KB:KC=D'B:D'C,BF:CE=BD:CD(已证)
∴BD':CD'=KB:KC=BF:CE=BD:CD(等量代换)
∴BD':BD=CD':CD=(BD'+CD'):(BD+CD)(比例性质)
∵BD':BD=CD':CD=(BD'+CD'):(BD+CD),
BC=BD'+CD',BC=BD+CD(已证)
∴BD'=BD,CD'=CD(等式运算)
∵|D'D|=|BD-BD'|=|CD-CD'|(已证)
BD'=BD,CD'=CD(已证)
∴ |D'D|=|0|(等式性质)
=>D'D=0(绝对值的性质)
=>点D'、D重合(距离为零的点重合)
8.证明K、D、J三点共线
∵四边形BKCJ的对角线KJ和BC的交点为D'(已作)
∴K、D'、J三点共线(两点确定一条直线)
∵点D'、D重合(已证)
K、D'、J三点共线(已证)
∴K、D、J三点共线(重合的点可以互相替代)

附加题：
如图所示，AJ与FE、BC分别交于点N、H。M是BC的中点。联结GD，延长GI交BC于点P。
求证：GD//AJ