那么如果是加强版的H₁函数而不是减弱版的呢？
我们可以知道，原本的Ω原来指ω₁，在OCF里面ω₁就削弱成ω₁CK了，由ω₁CK大于所有的可计算可递归函数的增长率，所以引入H₁(Ω)，就是用来迭代非递归序数，因为所有的递归函数都已经被Ω以下的增长层次所折叠，自然Ω增长率表示出非递归函数，如果H₁()在ω处需要对角化的话。
那么H₁(Ω)自然就是Ω₂，H₁(Ω，1)=Ω₃，H₁(Ω，n)=Ω_(2+n)。
所以Ω级增长率代表的是非递归分析:
H₁(Ω+1)=OFP，H₁(Ω+2)=ψ_I(I)
H₁(Ω+ω)=ψ_I(I^ω)，H₁(Ω+ω+1)=ψ_I(I^I)
为什么是I^I而不是I^Ω，很简单，H₁(Ω+ω+1)的对角化里头已经需要代入Ω，而只有I才是真正的进入了不动点。
H₁(Ω×2)=2 1-2(不可达基数)
H₁(Ω+α(Ω以下))相当于折叠的任意Ω层次。
H₁(Ω×2+1)=IFP
类似的H₁(Ω×2+α)折叠了I的层次。
H₁(Ω×3)=2 1-2 1-2
H₁(Ω×4)=2 1-2 1-2 1-2
H₁(Ω×ω)=(2 1-)^ω
H₁(Ω×ω+1)=(2 1-)^(1，0)
H₁(Ω²)=2-2(马洛基数)，H₁(Ω^2+1)=MFP
H₁(Ω^2+Ω)=2 1-2-2(马洛基数的不可达点)
H₁(Ω^2+Ω×2)=2 1-2 1-2-2
H₁(Ω^2+Ω×n)=(2 1-)^n 2-2
H₁(Ω^2×2)=2-2 1-2-2(马洛基数的马洛点)
H₁(Ω^2×ω)=(2-2 1-)^ω，H₁(Ω^3)=2-2-2
H₁(Ω^4)=2-2-2-2，H₁(Ω^ω)=(2-)^ω
H₁(Ω^ω+1)=(2-)^(1，0)，
H₁(Ω^Ω)=3(这个3指Π3不是自然数，即紧致基数)
所以说Π₃对于非递归序数地位相当于Γ0。
H₁(Ω^Ω+1)=(1-)^(1，0) 3
H₁(Ω^Ω+Ω)=2 1-3
H₁(Ω^Ω+Ω×2)=2 1-2 1-3
H₁(Ω^Ω+Ω^2)=2-2 1-3，H₁(Ω^Ω×2)=3 1-3
H₁(Ω^Ω×2+Ω)=2 1-3 1-3
H₁(Ω^Ω×3)=3 1-3 1-3
H₁(Ω^Ω×ω)=(3 1-)^ω H₁(Ω^(Ω+1))=2-3
H₁(Ω^(Ω+ω))=(2-)^ω 3
H₁(Ω^(Ω×2))=3 2-3
H₁(Ω^(Ω×3))=3 2-3 2-3
H₁(Ω^(Ω×ω))=(3 2-)^ω
H₁(Ω^(Ω×ω)+1)=(3 2-)^1，0
H₁(Ω^Ω^2)=3-3(两段3反射链)
H₁(Ω^Ω^2+1)=(1-)^(1，0) 3-3
H₁(Ω^Ω^2+Ω)=2 1-3-3
H₁(Ω^Ω^2×2)=3-3 1-3-3
H₁(Ω^(Ω^2+1))=2-3-3
H₁(Ω^(Ω^2+2))=2-2-3-3
H₁(Ω^(Ω^2+ω))=(2-)^ω 3-3
H₁(Ω^(Ω^2+Ω))=3 2-3-3
H₁(Ω^(Ω^2+Ω+1))=2-3 2-3-3
H₁(Ω^(Ω^2+Ω×2))=3 2-3 2-3-3
H₁(Ω^(Ω^2+Ω×ω))=(3 2-)^ω 3-3
H₁(Ω^(Ω^2×2))=3-3 2-3-3
H₁(Ω^(Ω^2×ω))=(3-3 2-)^ω
H₁(Ω^Ω^3)=3-3-3，H₁(Ω^Ω^4)=3-3-3-3
H₁(Ω^Ω^ω)=(3-)^ω H₁(Ω^Ω^Ω)=4
所以(3-)^ω在非递归分析相当于SVO，4相当于LVO。
H₁(Ω^Ω^Ω+1)=(1-)^(1，0) 4
H₁(Ω^Ω^Ω×2)=4 1-4 H₁(Ω^(Ω^Ω+1))=2-4
H₁(Ω^(Ω^Ω+Ω))=3 2-4
H₁(Ω^(Ω^Ω+Ω×2))=3-3 2-4
H₁(Ω^(Ω^Ω×2))=4 2-4
H₁(Ω^Ω^(Ω+1))=3-4
H₁(Ω^Ω^(Ω+2))=3-3-4
H₁(Ω^Ω^(Ω×2))=4 3-4
H₁(Ω^Ω^(Ω×2+1))=3-4 3-4
H₁(Ω^Ω^(Ω×3))=4 3-4 3-4
H₁(Ω^Ω^Ω^2)=4-4 H₁(Ω^Ω^Ω^Ω)=5
H₁(Ω^(Ω^^3+1))=2-5
H₁(Ω^Ω^(Ω^Ω+1))=3-5
H₁(Ω^Ω^Ω^(Ω+1))=4-5
H₁(Ω^Ω^Ω^Ω^2)=5-5 H₁(Ω^^5)=6
H₁(Ω^^6)=7 H₁(Ω^^ω)=Π_ω
即Π_ω相当于非递归分析中的BHO
H₁(ψ₁(0)+1)=α→Π_α不动点
所以到H₂可能很困难，各种非递归序数已经被Ω的FGH表示出来了。所以强化版的H得歇歇，先研究弱化版的H函数。

先暂停一下。
讨论一下多目康威链的二级对角化:
二级对角化的ω→ω→ω→2展开很简单，ω→ω→(ω→ω→(ω→ω→…))。
那么二级对角化的ω→ω→ω→ω+1该如何处理？
先讨论ω→ω→ω→ω+1的一级对角化是怎么展开的，ω→ω→(ω→ω→…(ω→ω)…→ω)→ω是不是。
所以二级对角化也如是炮制。
那再细节一下，ω→ω→ω+1→ω的二级对角化怎么搞呢。
一级对角化中ω→ω→ω+1→ω很容易就看出直接搞成ω→ω→ω→(ω+1)，然后在一级对角化的ω→ω→ω→α中α取到ω+1层。那么二级对角化呢？先举个简单的ω→ω+1→ω，展开后就是ω→ω→(ω+1)，于是把括号去掉变成ω→ω→ω+1，然后降格成用一级对角化来计算得到Γ0。
同样的，(ω→ω→ω+1→ω)₂也该是这样:
(ω→ω→ω→(ω+1))₂=(ω→ω→ω→ω+1₁)₂
里面的下标1是只需要用一级对角化来计算，将二级对角化的ω→ω→ω→α运算，α取到不动点(因为这是一级对角化中ω+1的含义)，就是ω→ω→ω+1→ω的二级对角化的理解。
二级对角化的ω→ω→ω→ω+1→ω，就是二级对角化运算中的ω→ω→ω→ω→α，α取到不动点。
对于二级对角化从ω康链之后怎么理解呢？
因为ω目康威链中，这个ω是需要对角化的，由于是二级对角化，所以ω→ω→…→ω[ω+1]就是二级对角化运算的ω→ω→…→ω扩张到项数不动点，在一级对角化下看是ω+1目康威链。接着二级对角化中的ω→ω→…→ω+1(ω目，尾部是ω+1)的意思类似的就是一级对角化下看的康威链项数为不动点。可以用{ω，ω+1，ω，ω}和{ω，ω，ω+1，ω}可以分析出区别，其中对角化的地方也显而易见。{ω，ω，ω，ω+1}就是真正的ω+1目二级对角化康威链，是上述尾部的不动点。

可以有个规律:
A+1级对角化的ω→ω+1→ω
就是A级对角化的ω→ω→ω+1，相当于A-1级对角化的ω→ω→ω→2，在A-2级对角化的角度上看就相当于BO序数。
A+1级对角化的ω→ω→ω+1→ω
就是A+1级对角化的ω→ω→ω→α运算，然后α达到A级对角化下的不动点。
可以用(ω→ω→ω+1→ω)₃来看，就是(ω→ω→ω→α)₃运算，α达到了二级对角化角度下的ω+1项。设f(α)=(ω→ω→ω→α)₃，其中α是极限序数时直接取极限，那么α→f(α)就是一级对角化下的ω+1项，α→f(α)的二重不动点，就是一级对角化下的第ω+2项，这还远远不够，直到α→一级对角化的第α项，才可称之为二级对角化下的第ω+1项，进而才能变成(ω→ω→ω+1→ω)₃。
这就是对角化的升级方式。
其实，在ω^2之后对角化的行为变得复杂，先说到这。

目前这个对角化序数还是很难良定义的。
不过我考虑个ω级对角化之后的扩张。
ω级对角化之后，那么怎么升级成ω+1级对角化呢？
这样子，设r·{ω→ω→ω}ω=p·{ω→ω→ω}ω，p的只需要在极限序数上取极限就行了，照常进行下去，到a→p·{ω→ω→ω}a，于是就定义成1-p·{ω→ω→ω+1}ω+1，也就是一级对角化级真{ω→ω→ω+1}ω+1，接着，这个不动点性具有二级对角化的性质，变成二级对角化级真{ω→ω→ω+1}ω+1，接着，到达α→α级对角化级真{ω→ω→ω+1}ω+1，才能演变成{ω→ω+1→ω}ω，{ω→ω+2→ω}ω，则是达到上述的二重不动点，对角化层级具有ω+2级增长率的性质，意思就是将对角化等级也对角化了。
{ω→(ω→…)→ω}ω照旧合成{ω→ω→ω+1}ω。
该记号的极限是α→{ω→ω→ω+1}α。