顶

我们用0表示单位元。
设Q=G×H，设G不是平凡群。
第一步：G中非零元素的阶(order)都是无限的。
证明：设g属于G非零。(g, 0)是Q中的非零元素。所以，对于任意正整数n，n(g, 0)=(ng, 0)不是零。所以g的阶无限。
第二步：令π: Q→G是投影。则要么kerπ=0（推出H是平凡群），要么G是平凡群。
证明：设x=p/q是既约分数。如果π(x)=0，则π(p)=qπ(x)=0。pπ(1)=0。π(1)的阶有限。利用第一步结论，π(1)=0。所以π(任意整数)=0。再次利用第一步结论证明π(任意有理数)=0。因为Q=G×H，所以π是满射，所以G是平凡群。