曲面积分, 高斯公式

二楼

三楼

四楼。
本楼层的楼中楼会放相关贴子的链接。
定积分，二重积分，三重积分，曲线积分，斯托克斯公式等等。

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1) 积分的线性性质
2) 积分的线性性质
3) 积分的可加性
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投影到三个坐标平面。
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1) 一定要注意：必须是单值函数，必须是显函数。
2) 封闭曲面，则积分符号上加个圆圈。
3) 对称性和轮换对称性，和三重积分类似。
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曲面积分的参数方程计算法。
曲面∑是光滑曲面。
区域D' 是有界闭区域。
f(x,y,z)在曲面∑上连续。
雅可比式。
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质心，重心，形心。
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在数学考研的范畴内，重心就是质心。
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当ρ(x,y)与ρ(x,y,z)为常数时，质心就成为了形心。
公式的分子分母约去ρ就是形心公式。
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以下如无特殊说明，均假设ρ(x,y)与ρ(x,y,z)在所定义的区域上连续。
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二重积分：
对于平面薄片，面密度为ρ(x,y), D是薄片所占的平面区域，则计算质心的公式为
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三重积分：
对于空间物体，体密度为ρ(x,y,z)，Ω是物体所占的空间区域，则计算质心的公式为
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第一类曲线积分：
对于光滑曲线L，线密度为ρ(x,y,z)，则计算质心的公式为
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第一类曲面积分：
对于光滑曲面薄片∑，面密度为ρ(x,y,z)，则计算质心的公式为
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转动惯量
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二重积分：
对于平面薄片，面密度为ρ(x,y), D是薄片所占的平面区域，则该薄片对于x轴，y轴和原点O的转动惯量
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三重积分：
对于空间物体，体密度为ρ(x,y,z)，Ω是物体所占的空间区域，则该物体对于x轴，y轴，z轴和原点O的转动惯量
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第一类曲线积分：
对于光滑曲线L，线密度为ρ(x,y,z)，则该曲线对于x轴，y轴，z轴和原点O的转动惯量
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第一类曲面积分：
对于光滑曲面薄片∑，面密度为ρ(x,y,z)，则该曲面对于x轴，y轴，z轴和原点O的转动惯量
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引力
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G为引力常系数，m为质点的质量。
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二重积分：
对于平面薄片，面密度为ρ(x,y), D是薄片所占的平面区域，则该薄片对于点P(x0,y0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy)为
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三重积分：
对于空间物体，体密度为ρ(x,y,z)，Ω是物体所占的空间区域，则该物体对于点P(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy,Fz)为
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第一类曲线积分：
对于光滑曲线L，线密度为ρ(x,y,z)，则该曲线对于点P(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy,Fz)为
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第一类曲面积分：
对于光滑曲面薄片∑，面密度为ρ(x,y,z)，则该曲面对于点P(x0,y0,z0)处的质量为m的质点的引力(Fx,Fy,Fz)为
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二重积分的对称性和轮换对称性。
三重积分的对称性和轮换对称性。
第一类曲线积分的对称性和轮换对称性。
第二类曲线积分的对称性。(特殊对称性)
第一类曲面积分的对称性和轮换对称性。
第二类曲面积分的对称性。(特殊对称性)
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曲面积分经典例题。
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圆柱面垂直于xoy平面，所以在xoy平面的投影是一条曲线，而曲线是没有面积的，只有区域才有面积，所以投到到xoy平面之后，是不能转为二重积分进行计算的。
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但是可以用曲面微元进行计算。
柱面的高是dz，柱面的长度就是圆周的长度。
所以柱面面积就是长乘高。
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这个和用曲线积分计算柱面面积，计算旋转曲面面积的公式，有一些类似。
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一定要注意：必须是单值函数，必须是显函数。.

.这个圆柱面，关于x和y是轮换对称的，所以投影到zox平面与投影到yoz平面是类似的区域。
可以用对称性，轮换对称性简化计算。
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一定要注意：必须是单值函数，必须是显函数。
因为x不是单值函数，所以需要拆开曲面，分块进行计算。
可以用对称性简化计算。
将x的表达式，代入到被积函数，化为二重积分。
曲面方程的表达式，是恒等式，所以可以代入到被积函数。
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这里投影到yoz平面。
投影到zox平面，计算过程类似。
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计算二重积分。
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也可以用参数方程进行计算。
参数方程的难度要高一些。因为要用到雅可比式。
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使用参数方程。
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使用参数方程。
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空间曲线在坐标面内的投影的方程。
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根据空间曲线的投影，就可以求出空间曲面的投影。
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三维立体图形的图不会画没关系，但投影曲线是二维平面图需要会画。
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a大于0。
曲线投影，曲面投影。
主要是算出各个曲面之间的交线，在各个坐标平面的投影。
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最常见的旋转曲面，这个必须要掌握。
注意：
曲线方程里面的x=0,y=0,z=0如果改为其他的平面，则结论不成立。
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旋转曲面。
空间曲线绕任意一直线旋转一周所生成的曲面。
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(a) 纬圆所在的平面，垂直于轴。平面法向量就是轴的方向向量，平面过点M1，得到平面方程。
(b) 轴上任意取一个定点P0，则纬圆上的任意一点到该定点的距离是常数，得到距离相等的方程。
(c) M1在曲线上，所以满足曲线方程。得到两个方程。
(d) 四个方程，消去x1,y1,z1三个未知数，得到旋转曲面的方程。
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二次曲面。
柱面：圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面，抛物柱面。
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x²/a² + y²/b² - z²/c² = k
当k = 0时，椭圆锥面。
当k > 0时，单叶双曲面。
当k < 0时，双叶双曲面。
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