蔡天新的推广:
对任意正奇数n，d取遍n的所有因数
①当3不整除n时
(-1)^(φ(n)/2)*∏C(d-1, (d-1)/2)^μ(n/d)≡4^φ(n) (mod n³)
②当3整除n时
(-1)^(φ(n)/2)*∏C(d-1, (d-1)/2)^μ(n/d)≡4^φ(n) (mod n³/3)
其中μ(n)是莫比乌斯函数，φ(n)是欧拉函数

Granville的推广:
对任意奇素数p和与p互素的正整数m≥2，当i=1~m-1时
(-1)^((p-1)(m-1)/2)* ∏C(p-1, [ip/m])≡ m^(m(p-1)) (mod p²)
其中[x]表示不超过x的最大整数