二次互反律的最早的严格证明由Gauss发表
由Euler准则可以证明Gauss引理的第一部分，进而可以证明Gauss引理的第二部分
得到 (p/q)= (-1)^S(p, q)，(q/p)=(-1)^S(q, p)
其中 S(p, q)= ∑[pi/q]，i=1~(q-1)/2
S(q, p)= ∑[qi/p]，i=1~(p-1)/2
高斯函数[x]表示不超过x的最大整数
相乘就得到(p/q)×(q/p)= (-1)^[S(p, q)+S(q, p)]
所以其实只要再证明第四个引理 S(p, q)+S(q, p) = (p-1)(q-1)/4
就可以证明二次互反律了

引理4证明:
如果p, q是不同的奇素数
设满足px>qy且1≤x< q/2, 1≤y<p/2的正整数对(x, y) 组成的集合为A
满足px<qy且1≤x< q/2, 1≤y< p/2 的正整数对(x, y) 组成的集合为B
① A中x的取值范围是1, 2, …, (q-1)/2，由于1≤x<q/2，x和q互素，而p也与q互素，所以px/q 不是整数
对每个x，当1≤y<px/q 时 y< p(q-1)/2q < p/2 且 px>qy，所以(x, y)∈A
这样的y一共有[px/q] 个
而当y > px/q 时 px < qy，(x, y)不属于A
对x=1~(q-1)/2求和得到 ℓAℓ = ∑[px/q] = S(p, q)

② B中y 的取值范围是1, 2, …, (p-1)/2，由于1≤y<p/2，y和p互素，而q也与p互素，所以qy/p 不是整数
对每个y，当1≤x< qy/p 时 y<q(p-1)/2p < q/2且 px<qy，所以(x, y)∈B
这样的x 一共有[qy/p] 个
而当x >qy/p 时 px>qy，(x, y)不属于B
对y=1~(p-1)/2求和得到 ℓBℓ = ∑[qy/p] = S(q, p)

③满足1≤x<q/2 且 1≤y<p/2 的正整数对(x, y) 一共有(p-1)/2 × (q-1)/2 = (p-1)(q-1)/4 对
由于这其中的px/q 和 qy/p都不是整数，不存在px=qy 的整数对，所以这些整数对(x, y)要么属于A，要么属于B
因此 ℓAℓ + ℓBℓ = (p-1)(q-1)/4
由①②③可得S(p, q) + S(q, p) = (p-1)(q-1)/4

二次互反律的英文名 Law of Quadratic Reciprocity
作为经典结论被很多人都研究过，这个贴子后面多找几种证明方法(*^▽^*)
据说有人搜集过二次互反律已有的三百多种证法，但肯定还会有更多的

上面的这种证明过程应该算是 Eisenstein 的证法，不知道能不能找到高斯的做法，好像他一共找出来了8种证明

eisenstein的用三角那个，cours d'arithmétique里边有。还有一个用gauss和的，最常见的，换成人话就是dft，用dft可以证一个稍微强一点的关于实值character的结论。说实话这玩意证法我就没有一个喜欢的。还见过一个用热核和theta inversion的，在一个纪念serge lang去见天父天兄的文章里。那个看着还行。

这个

说不定，高斯他本人就是因为不满意，才不停的找新方法
我找到Gauss和的证法了，浓缩之后很简洁（），但要从头开始一步一步写清楚真的好长啊

用dft写简单，就一dft的inversion fomula，暂时我觉着还行的，会dft的没几步。

还见过两个，一个用的群论，丑炸了就没看，还有一个用分圆域，直接就显然了，都怼到artin互反了。

有个网站专门列了这玩意，没球用，超过半页的就不想看。

你最近怎么这么高产

把主楼的证法做成了图片版，前3个引理的证明在这两个贴子
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由引理3和引理4就可以得到二次互反律