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Pr
好诶！是数学里面动力系统！
（*＾ワ＾*）
可以看看3b1b的分形可视化，我写一下过程
考虑从z_0=0开始迭代，z_{n+1}=f(z_n)=f^{n+1} z_0.
一种自然的想法是考察这个数列递增还是递减。那么我们从最直观的视角出发，观察任意两项的模之比是大于1还是小于1
|f(z)|/|z| = |z+c/z|，根据范数三角不等式放缩
|f(z)|/|z| \geq |z| - |c/z|
这个时候，如果|z|严格大于|c|，就可以断言 |z| - |c/z|大于 |z| - 1，而我们最终希望比较 |f(z)/z| 比值是大于1还是不超过，所以如果 |z| - 1大于1也成立，就得到了模长发散列。由于z模长递增，计算z_1模长恰好为c，所以这等价于c模大于2
事实上，令c模大于2，归纳可证如下命题
|z_{n+1}| \geq |z_n|^2 - |c| \geq 2^{2n} |c|^2 - |c| \geq \left(2^{2n} - \frac{1}{2}\right)|c|^2 \geq 2^{2n-1}|c|^2 \geq 2^{n+1}|c|
(latex渲染好发不出来)
你也可以更换迭代得到不同分形
（*＾ワ＾*）
可以看看3b1b的分形可视化，我写一下过程
考虑从z_0=0开始迭代，z_{n+1}=f(z_n)=f^{n+1} z_0.
一种自然的想法是考察这个数列递增还是递减。那么我们从最直观的视角出发，观察任意两项的模之比是大于1还是小于1
|f(z)|/|z| = |z+c/z|，根据范数三角不等式放缩
|f(z)|/|z| \geq |z| - |c/z|
这个时候，如果|z|严格大于|c|，就可以断言 |z| - |c/z|大于 |z| - 1，而我们最终希望比较 |f(z)/z| 比值是大于1还是不超过，所以如果 |z| - 1大于1也成立，就得到了模长发散列。由于z模长递增，计算z_1模长恰好为c，所以这等价于c模大于2
事实上，令c模大于2，归纳可证如下命题
|z_{n+1}| \geq |z_n|^2 - |c| \geq 2^{2n} |c|^2 - |c| \geq \left(2^{2n} - \frac{1}{2}\right)|c|^2 \geq 2^{2n-1}|c|^2 \geq 2^{n+1}|c|
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你也可以更换迭代得到不同分形
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