前言
本专题的目标是从一个纯几何的定义出发建立完整的三次曲线的纯几何体系 (事实上对于更高次数的曲线可以类似地给出纯几何的构造),重点不在于某些具体的三次曲线的构造方式 (如1927中所做的那样),但是会给出三角形几何学中常见的轨迹是三次曲线的证明.
自从Cayley-Bacharach定理近年来被引入纯几何研究中,三次曲线也变得热门,特别是用于一些常见轨迹中(如主等角共轭三次曲线、正枢点曲线),可以得到很有力的性质.然而,三次曲线的定义终究是不纯几何的,此前多数情况中,我们默认这些三线坐标得到的次数结果,也将CB等性质视为理所应当.毋庸置疑的是,从代数上的观点来看,CB是一个相当漂亮的结果 (推导也很优美),但借助代数定义的曲线次数,终究有违纯几何的纯粹之名.
是否有一个纯几何的体系用于描述三次曲线?换言之,三次曲线能被纯几何化吗?借助射影几何的工具,我们早已完成了二次曲线的纯几何化,本专题希望解决三次曲线的问题——从定义三次曲线开始.
本专题大致有三大部分:我们会先给出一个几何定义,并基于这个定义说明,三角形几何学中常见的轨迹都是该定义下的三次曲线;接着我们会证明Cayley-Bacharach定理,并探索群结构与射影对应的深层联系;最后我们会循SITP(SpecialIsocubicsintheTrianglePlane)的思路讨论三次曲线配极方面的命题.
感谢
@forever豪3 的指点,感谢在我学习几何的道路上提供指引的诸位前辈,感谢我的同学
@水稻_614 的支持和协助,也要感谢纯几何吧的每一位吧友.
预祝大家2024年新年快乐!
2023.12.28