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演示一下怎么问数学问题

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  • Lunifans
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链接:如果 $r(\mathfrak{a})$ 是极大理想,那么 $\mathfrak{a}$ 是准素理想。 - Task First


  • Lunifans
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垃圾百度贴吧,删我链接


2025-09-22 00:08:52
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  • Lunifans
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我的问题的链接如下,不要自动删我的链接,Ok?
https://taskfirst.cool/question/%e5%a6%82%e6%9e%9c-rmathfraka-%e6%98%af%e6%9e%81%e5%a4%a7%e7%90%86%e6%83%b3%ef%bc%8c%e9%82%a3%e4%b9%88-mathfraka-%e6%98%af%e5%87%86%e7%b4%a0%e7%90%86%e6%83%b3%e3%80%82/


  • 茶凉凉凉凉丶
  • 群环域
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所以说为什么要用贴吧


  • 载剑公爵
  • 群环域
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在知乎过了一下,才看懂写的是什么


  • 载剑公爵
  • 群环域
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百度一下回顾相关概念。
在交换幺环 A 中,一个理想 a 被称为极大理想,如果它是真理想(即 a ≠ A)且对于 A 中的任何理想 b,如果 a 包含于 b 中,则 b = a 或者 b = A。换句话说,极大理想是在所有真理想中最大的。
一个准素理想是一个真理想 a,满足对于任意的 x, y ∈ A,如果 xy ∈ a,则 x ∈ a 或者 y ∈ a。
分析:
现在问题是,假设 r(a) 是一个极大理想。需证明 a 是一个准素理想。
又假设存在 x, y ∈ A,满足 xy ∈ a,但是 x ∉ a 且 y ∉ a。将证明 a 不是一个极大理想,从而得出矛盾。
推理:
考虑理想 b = a + (x) 和理想 c = a + (y),其中 (x) 和 (y) 分别表示由 x 和 y 生成的理想。由于 x ∉ a,知道 b 包含 a 但不等于 a。同样,由于 y ∉ a,可知 c 包含 a 但不等于 a。
由于 r(a) 是一个极大理想,则有 b = r(a) 或者 b = A,以及 c = r(a) 或者 c = A。
首先,假设 b = r(a)。
这意味着存在一个整数 n,使得 xn ∈ a。由于 xy ∈ a,所以有 x(y^n) ∈ a。由于 a 是一个真理想,所以知道 x ∈ a 或者 y^n ∈ a。
但是根据预先的假设,x ∉ a,所以得出 y^n ∈ a。这意味着 y ∈ r(a)。但这结论与事先的假设 y ∉ a 矛盾。
现在,假设 b = A。这意味着对于任意的 z ∈ A,都有 z ∈ b。考虑 z = y^n。根据预先的假设 y ∉ a,所以 y^n ∉ a。但是根据 b = A,容易得出 y^n ∈ b。这与预先假设 y^n ∉ a 矛盾。
通过上述推理,可以得出结论:如果 r(a) 是一个极大理想,则 a 是一个准素理想。
特别地,如果 m 是一个极大理想,则 m 的幂 m^n 是一个准素理想。
m 在 A/a 上的像是 A/a 的诣零根,这涉及到商环的性质。商环 A/a 的元素可以表示为 a + x,其中 x ∈ A。
所以如果 m 是一个极大理想,则 m 在商环 A/a 上的像亦是一个极大理想,记为 m/a。由于 m^n 是一个准素理想,故可知 (m^n)/a 是一个准素理想,并且它是 A/a 的唯一一个素理想。


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