1，哥德定理并不是说明所有公理系统都是不完备的，只是说明， 某些条件下，无法通过公理证明公理的一致性和完备性。根据这点导出，任何包含初等数论或自然数公理且一致完备的形式系统都会有不可判定的真命题(至于为什么是真命题，2会讲)，且无法在其内部证明其自身的一致性和完备性。

2、可证和真不相同，可证一定是真，只要可证为真，那就是真。而真不一定可证，不可证的真。这一点在哥德尔不完备定理上可以成立：哥德尔将所有数学对象、公理、构造、论述证明过程等等转换为哥德尔数(Godelnumber)，再通过这编码的形式构造一个引用自身的论述(像“这个论述是错的”是一个引用自身的论述)或类似停机问题的悖论。这就能证明，任何包含自然数公理(哥德尔数就是通过将数学中的论述转换成自然数得到的)中，都有一个不可证的论述或命题，且该不可证的论述或命题为真。哥德尔不完备定理称，不存在模棱两可的矛盾，一个数学论述要么正确(为真)，要么错误(为假)，若存在一个矛盾的数学论述，则错误和正确均可证，且为真。也就是说，矛盾不是两可的，要么错误，要么正确，若矛盾可以被证明为错误或正确，意味着矛盾是正确的。这样解释可能有点难懂，但可以这样想，我们证明一个命题不可证，一个不可证的命题就是真的，也就是被可证为“不可证”。所以，在1中，包含自然数公理的形式系统中的不可判定(证)命题是真命题。(这也就是哥德不完全定理的诡异之处)

3.理论上，哥德尔不完备定理只适用于一些强的公理系统，不适用于弱的。就是说，哥德尔不完备定理对某一包含了足够算术的公理系统(足以承载第一定理中的证明过程的编码)有效的，对此不满足的公理系统(即不足以承载第一定理中证明过程的编码和内容量，并不充足)，哥德尔不完备定理不能保证其生效。这就反证了一些非常弱的公理系统是一致且完备的。因为非常弱的系统做一些基本的操作，会由于无法承载第一定理证明过程中的编码，从而导致哥德尔不完备定理并不有效。