虽然没用它做过研究，但是接触它也算比较久了. 没想到前几天听ICTP的随机矩阵课时，那个老师举了一个关于大偏差函数的特别好的例子，让我对它的了解透彻了许多.
例子是一个非常简单的模型：一个粒子从在一条一维链上做非对称随机行走(晶格长度为1)，往右走一格的概率为p, 往左走一格的概率为q=1-p，粒子的初始位置是X=0处. 从这个例子就可以很清楚地理解大偏差函数到底包含了什么信息、有什么用. 设第n+1步粒子的位置是X(n+1)， 第n步粒子的位置是X(n)，那么两个位置函数满足X(n+1)-X(n)=ξ, 其中ξ∈{-1,+1},且其取-1的概率为q,取+1的概率为p. 从这个递推式显然有X(n)=Σξ_i. 即把n个独立同分布的随机变量ξ加起来就得到X(n). 现在中心极限定理就可以发挥作用了，它能告诉我们大n极限下X(n)=x的概率分布函数满足高斯分布. 而我们用X(n)=Σξ_i这个式子可以容易地计算出X(n)的均值<X(n)>为n(p-q),方差为4npq.代入高斯分布的表达式我们就得到了p[X(n)=x]. 一切看上去很美好，我们已经得到了这个随机过程X(n)在时间n处取值为x的概率分布函数(large n)，大偏差理论还有什么用呢？但是且慢，中心极限定理其实只在X的均值附近成立！它不能正确预测那些离X(n)均值很远处的稀有事件{X(n)=很大的x}的概率. 比如一个最极端的事件:在第n步粒子的位置恰好在X=n的概率p[X(n)=n]=p^n. 这是一个非常小的概率，显然用中心极限定理给出的高斯分布是不能得到这个结果的。此时大偏差理论就派上用场了. 它告诉我们，在大n极限下p[X(n)=x]渐近于exp[-nΦ(x)]，其中x=X(n)/n. 这里Φ(x)即所谓大偏差函数，或者速率函数.它是大偏差理论里最核心的一个量，后面什么Gartner-Ellis定理也就是为了得到这个量. 这个公式即使在x很大的时候也是成立的，大偏差理论顾名思义，能对与均值偏差很大的稀有事件也做出有效的预测.在这个例子下，用组合数可以写出n时刻向右走n1步，向左走了n2步(n1+n2=n)的概率分布，再用斯特林近似容易得到大偏差函数Φ(x)=(1+x)ln[(1+x)/2p]/2+(1-x)ln[(1-x)/2p]/2. 检验一下，X(n)=n时x=1,Φ(x=1)=-logp, 即用大偏差方法我们得到了正确的结果p[X(n)=n]=p^n. 此外注意到在均值x=X(n)/n=p-q附近把Φ(x)泰勒展开再代入exp[-nΦ(x)]又得到了(弱)中心极限定理的预测结果！可见大偏差函数包含的信息是非常丰富的.