~~~

@☞达瓦里希☜ 这个题很难做

第二问题可以化简为证明

我没有时间仔细分析,@蔸蔸白你可以想想.

当p是素数时，设1~p²中所有与p互素的正整数乘积为M
对每个与p互素且1≤i≤p²的正整数i，p²-i也和p互素
M/i + M/(p²-i) = Mp²/i(p²-i) 是p²的整数倍
而且M/p²×[M/i + M/(p²-i)]= M²/i(p²-i)≡-M²/i² (mod p²)
M/i 组成模p²的简化剩余系，所以∑(M/i)²≡ [1²+2²+…+(p²)²]- p²[1²+2²+…+p²] (mod p²)
后面那个式子等于∑k²，其中1≤k≤p²且k与p互素
并且由上式可得 6∑k²≡0(mod p²)
所以 12M²/p²×∑1/i ≡ 6M/p²×∑(M/i+ M/(p²-i)) ≡ -6 ∑(M/i)²≡0(mod p²)
则 p⁴ | 12M²×∑1/i，其中1≤i≤p²且i与p互素
M与p互素，所以如果∑1/i = m/n，则 p⁴| 12m
当p≥5时 p⁴ | m，当p=3时 p³ |m，当p=2时p² | m

这样配对还可以证明，对正整数h和素数p
如果对所有1≤k≤hp且k与p互素的正整数k求和，∑1/k = m/n，那 p^[2+2V_p(h)] | 12m

说一下第二小题的简单过程
将C（p³，p²）=p³（p³–1）……（p³–p²+1）/p²！
将分子分母拆成两部分乘积
第一部分是p的倍数，这部分消掉约分后就是C（p²，p），其p的指数为1
第二部分就是连乘Π（p³–k）/k，其中k遍历1到p²中非p的倍数，其分母就是6楼的M。
因M与p互素，问题改为证明
Π（p³–k）–Πk是p⁷的倍数
将其看成p³的多项式进行展开，
模p⁷结果同余于p⁶∑M/（ij）–p³∑M/k
其中1≤i＜j＜p²，和k一样遍历1到p²中和p互素的数字。
注意∑1/i²+2∑1/（ij）=（∑（1/k））²
6楼已证明∑M²/i²是p²的倍数，∑M/k是p⁴的倍数∑M/（ij）是p²的倍数。
所以可知p⁶∑M/（ij）–p³∑M/k是p⁷的倍数。
命题得证。C（p³，p²）–C（p²，p）是p⁸的倍数。

第一个结论也可以按这种过程做，具体是这样子

这是概问上的题目吗？