0,1

22…2(n个2)，44…4(n个4)，55…5(n个5)，66…6(n个6)，99…9(n个9)，在n大于等于2时不可能为立方数。

其余情况似乎更难证，完成时我将发出手写证明。

11…1(n个1)与88…8(n个8)具有相同存在性。

不排除在下数学水平解决不了剩余情况的可能。

8716637368288471^3=
5138644385446477^3=
1497233899660753^3=

或许还有更多这样的尾数，但我拙劣的算法再找不到了。

很感谢

如果10^n-1=3m^3, 则3|m, 9|n, 设n=9a, (10^(3a)-1)(10^6a+10^3a+1)=3m^3, 所以10^(3a)-1=u^3, 只可能a=0,所以33…3不是完全立方数

当11…1（n个1）的n为2或3或5的倍数时，其不可能为立方数。

实际上，就是求不定方程9x^3=(10^n-1)y，y是个位数的正整数解。
1、容易判断x=1，y=1，n=1；x=2，n=1，y=8
2、y=2、4、6，模8知：4/1、2/1，矛盾；
y=5,5/1，矛盾。
3、y=9，x^3=10^n-1,10^n=x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)，(x+1，x^2-x+1)=1、3,
由于10^n无因子3，因此(x+1，x^2-x+1)=1 x=1、2，显然不是解。当x>2
x+1<x^2-x+1，x+1=2^n，x^2-x+1=5^n，
即5^n=(2^n-1)^2-(2^n-1)+1=5^n>2^(2n),2^n-1>2^n，矛盾
4、y=3,3x^3=10^n-1，9/10^n-1，3/x，81/10^n-1，9/n,n=9a
3x^3=10^n-1=[10^（3a)]^3-1=[10^(3a)-1)[10^(3a)^2+10^(3a)+1]
显然 (10^(3a-1)，10^(3a)^2+10^(3a)+1）=1、3 10^(3a)^2+10^(3a)+1）仅为3整除
10^(3a)-1=m^3，（10^a)^2+10^a+1=3n^3，注意3/m，10^(3a)-1=m^3无整数解
5、y=7,7/x，10^n-1根据费尔马小定理：6/n，n=6a,
9*49x^3=10^(6a)-1=[10^(3a)+1][10^(3a)-1]] (10^(3a)+1,10^(3a)-1)=1
10^(3a)-1)=9m^3，10^(3a)+1=49n^3
或10^(3a)-1)=9*49m^3，10^(3a)+1=n^3，该式无解
对于10^(3a)-1)=9m^3，9m^3=(10^a-1)[10^(2a)+10^a+1] 10^(2a)+10^a+1仅为3整除
10^a-1=3k^3,借故变成y=3，无解
y=1有解，y=8同样有解。只需考虑y=1！待续
因时间紧，没有仔细复核，请网友批评指正！

y=1,9x^3=10^n-1
1、当n=2a时：9x^3=10^（2a）-1=（10^a+1）(10^a-1) （10^a+1,10^a-1)=1
10^a+1=m^3,10^a=m^3-1=(m-1)(m^2+m+1)，(m-1，m^2+m+1)=1，m^2+m+1>m-1
m-1=1,m=2，显然不是方程的解，因此m-1=2^a，5^a=m^2+m+1=(m-1)^2+3m-3+3=4^a+3*2^a+3
a<=2,a=1、2不成立。无解
2、当n=2a+1时：x^3=1+10+10^2+......+10^(2a)，x的个位数为1,7楼后两个数不成立！
令x=10m+1:1000m^3+300m^2+30m+1=1+10+10^2+......+10^(2a)
模100:3m-1=10t；模1000:13m-11=100s，消去m：13t-30s=2，t=30k+14，s=13k-6
3m=10t+1=300k+141，m=100k+47，x=10m+1=1000k+471待续

7楼给出的三个数均不合题意：可采用首尾不呼应确定：
8716637368288471^3 ,个位数为1
8.71^3*10^45=6607*10^45< 8716637368288471^3 = 8.72^3*10^45=6631*10^45，首位数不为1
5138644385446477^3，个位数为3
135*10^45<5.13^3*10^45<5138644385446477^3<5.14^3*10^45=136*10^45,首位数不为3
1497233899660753^3,个位数为7
3.3*10^45<1.49^3*10^45<1497233899660753^3<1.5^3*19^45<3.4*10^45,首位数不为7

x^3=1+10+10^2+......+10^n,n为偶数
1、3/x，右边各项模9余1,9/1+n，n=9k-1，n为偶数，k为奇数。因此n=18t+8
x^3=1+10+10^2+......+10^n可表达为9x^3=10^(18t+9)-1=(10^s)^3-1=(10^s-1)[10^(2s)+10^s+1]
10^(2s)+10^s+1仅为3整除，3x^3=10^s-1。与15楼y=3同，无解
2、x=3a+1,9/10+10^2+......+10^n，9/n,n为偶数，
n=18t，1+10+10^2+......+10^n最小为19位数！t为正整数
3、x=3a-1，9/2+10+10^2+......+10^n 9/n+2, n为偶数,
n=18t+16,1+10+10^2+......+10^n最小为17位数，t非负整数