和2005CMOP6类似

背景说明：中科大2016自招的11题

主楼问题的答案为（1，0，0），（3，0，1）

谢大佬

2^x-5^y*7^z=1的非负整数解(1,0,0)，(3,0,1)
证明：
1、x为奇数，否则如x为偶数，则2^x-1=(3-1)^x-1≡(-1)^x-1≡0(mod3),不可能
2、2^x-1≡0(mod7)，x=3a、3a+1、3a+2，由于2^(3a）=(2^3)^a=8^a≡1(mod7)
所以x=3a，从2^（3a）-1≡0(mod5)，
由于a为奇数，8^a-1≡3^a-1=3x3^(a-1)-1=3x9^[(a-1)/2]-1≡3(-1)^[(a-1)/2]-1=2、-4(mod5)
矛盾。因此2^x-5^y*7^z=1的无正整数解
3、如x=0，5^y*7^z=0，不可能；
如y=0,2^x=7^z+1,当z为偶数，7^z+1只为2整除，z=0，x=1.（x,y,z）=(1,0,0)
当z为奇数时，7^z+1=8[7^（z-1）-7^(z-2)+......-7+1]，[]内为奇数项，为奇数，只有z=1，x=3；（x,y,z）=(3,0,1)
如Z=0，2^x=5^y+1，当y为偶数时，5^y+1只为2整除，只有y=0，x=1，（x,y,z）=(1,0,0)
当当y为奇数时，2^x=5^y+1=（5+1）[5^(y-1)-5^(y-2)+......-5+1],右边有3因子，左边无3因子，不可能。

当z为偶数，7^z+1只为2整除,(8-1)^z+1=8k+2