定积分的应用

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三楼

定积分的几何意义。
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平常的题目中，经常会碰到圆的方程的定积分，几何意义就是半圆的面积，或者四分之一圆的面积。
例如：
sqrt(4-x²) 从0到2的 dx 定积分，几何意义就是圆心在原点，半径为2的圆在第一象限的面积。改为从-2到2的 dx 定积分，就是半圆的面积。
x 从0到2的 dx 定积分，几何意义就是直角边为2的等腰直角三角形的面积。
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定积分的微元法，也称为元素法。
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定积分的应用，都是基于这个方法。
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补一下高中知识，圆和抛物线的方程。
曲线方程，不管是计算面积，还是计算体积，都是基础中的基础。
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圆。
从对称轴分开两部分，分别是两个表达式。
x 加表示右半圆，x 减表示左半圆。
y 加表示上半圆，y 减表示下半圆。
椭圆同理。
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抛物线。
从对称轴分开两部分，分别是两个表达式。
x 正，表示右半部分，x 负，表示左半部分。
y 正，表示上半部分，y 负，表示下半部分。
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平面图形的面积。
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等学了二重积分，就是被积函数为1的二重积分，分为X型区域和Y型区域。
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定积分的换元法。参数方程。
定积分的换元法，上下限的变化的原理，见后面的讲解。
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注意：
上限对应上限，下限对应下限。
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这种定积分的换元法，在星形线、摆线中，会经常用到。
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wallis公式，在定积分中很常用，必考的公式。
这个楼层最后的摆线里面会提到。
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这里被积函数用f(x)代替，不需要写出显式的函数表达式，因为后面参数方程换元的时候，f(x)会整个式子换元变为 t 的表达式。
第一象限的椭圆参数方程，t 只能从0到π/2
定积分的换元法，上限 x=a 计算得到上限 t=0，下限 x=0 计算得到下限 t=π/2
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星形线的面积。
计算方法，类似上图。
也要用定积分的换元法，上下限要根据参数方程算出来。
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摆线的图。
红线对应的 t 是0到π，绿线对应的 t 是π到2π
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摆线一拱和 x 轴围成的面积。
wallis公式，又称点火公式。
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摆线一拱和 x 轴围成的面积。
也要用定积分的换元法，上下限要根据参数方程算出来。
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等学了二重积分，就是二重积分的极坐标计算。
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极坐标面积公式。
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心脏线，上下对称，取上方一半的图形，2倍的面积
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当b = 1时，双纽线。
求这个曲线围成的面积。
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如果交换x和y的位置，则相当于交换x轴和y轴，面积是不变的。计算过程类似。
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因为关于x和y都是偶函数，所以图形是对称的，取第一象限，然后4倍。
计算得到 θ 的上限和下限。第一象限的θ从0到π/2
极坐标面积公式。
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极坐标系的面积计算。
分三种情况讨论：
其中 r1(θ), r2(θ), r(θ)有统一的表达式，如果是分段表达式，则需要分区域。
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等学了二重积分，这些都是课本上有讲解的。
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第一种情况：
r2(θ) 的面积，减去 r1(θ) 的面积。
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第二种情况：
r(θ) 的面积。
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第三种情况：
r(θ) 的面积。
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其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
下面每题基本都有纯代数解法，不用画图。
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个人建议还是要画图，如果不会画图，可以用描点法，取特殊点。
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第7题
对数螺线是连续曲线。不用画图，直接用极坐标面积公式。
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第8题(1)
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纯代数解法。
其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
积分的值的计算，见下一图。
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关于x轴对称，只计算第一象限，这里使用的是二重积分极坐标的写法，可以像上一图一样用一重积分的写法。二重积分同样是化为一重积分再进行计算，没有区别。
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第8题(2)
纯代数解法。
其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
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个人建议还是要画图，如果不会画图，可以用描点法，取特殊点。
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其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
此题我的解法就是纯代数解法，不用画图。
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其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
此题我的解法就是纯代数解法，不用画图。
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纯代数解法。
其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
积分的值的计算，见下一图。
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关于x轴对称，只计算第一象限，这里使用的是二重积分极坐标的写法，可以像上一图一样用一重积分的写法。二重积分同样是化为一重积分再进行计算，没有区别。
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其实不画图也能解，就是对称性不好观察。
此题我的解法就是纯代数解法，不用画图。
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