二重积分, 直角坐标系, 极坐标系, 交换积分次序

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本楼层的楼中楼会放几本书。
里面的同济大学高等数学第七版的教材，还是很不错的。

高中的极坐标知识。
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高中的极坐标知识。
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高中的极坐标知识。
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高中的极坐标知识。
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高中的极坐标知识。
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高中的极坐标知识。
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高中知识点：
极坐标系与直角坐标系相互转化。
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二重积分的定义。
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二重积分的几何意义：
曲顶柱体的体积，平面薄片的质量。
当被积函数是1时，就是积分区域的面积
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二重积分的性质。
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(1) 如果被积函数在被积区域上连续，且被积函数恒大于等于零，且被积函数不是恒等于零，则二重积分的值大于零。这个结论在数学分析的课是有的。
(2) 当被积区域只是一条曲线时，如直线、圆等等，二重积分值恒为零。
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二重积分的计算法。
利用直角坐标计算二重积分。
这个是基础中的基础。
(1) 积分区域D，X型区域和Y型区域的概念要完全掌握。
(2) X型或Y型区域的特点，这个是一定需要掌握的基础知识，也就是交点不多于两个。
当交点多于两个时，需要拆开区域。
(3) 如果X型区域的上边界曲线，不能用同一个函数表达式进行表示，则需要按分段函数进行拆分。X型区域的下边界曲线同理。Y型区域的左右边界曲线也同理。
(4) 两个定积分，也称为累次积分。注意：图中的两种写法都是对的。这个也是基础知识。
(5) 因为二重积分强制要求上限大于下限，所以当且仅当累次积分的两个定积分的上限都大于下限时，这个累次积分才能代表二重积分。如果上限小于下限，则需要添加负号交换定积分的上下限。交换积分次序，需要在二重积分的前提下才能进行，所以要特别注意上限大于下限。
(6) 交换积分次序的步骤：首先看一下累次积分的上限是不是大于下限，然后画出区域图，区域图一定要学会画，如果不会画曲线就直接描点，必须要有区域图才能保证正确性，然后按下面的X型或Y型区域，列出区域的上下限。如果是组合区域，则需要分区域。
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二重积分的对称性。
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(1) 区域关于y轴对称：
被积函数关于x是奇函数，则积分值为零。
被积函数关于x是偶函数，则积分值翻倍。
(2) 区域关于x轴对称：
被积函数关于y是奇函数，则积分值为零。
被积函数关于y是偶函数，则积分值翻倍。
(3) 区域关于原点对称：
这个对称性一般可以分区域，转换为区域关于x轴对称，或者区域关于y轴对称。
所以这个对称基本用不到，所以尽量不要用。
(4) 区域关于y=x对称：这个叫轮换对称性。
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交换被积区域的x和y，同时交换被积函数的x和y，这个操作在任何情况下都是不影响积分值的，因为相当于对坐标系重新命名，把x轴改名为y轴，y轴改名为x轴。
(a) 当被积区域关于y=x对称时：
因为交换被积区域的x和y得到的区域和原区域是同一个区域。
所以交换被积函数的x和y得到的积分值等于原积分值。
这个是平时用得最多的轮换对称性。
(b) 当被积区域关于y=x对称时，且被积函数也关于y=x对称时：
这个时候取y=x下方的区域，记为区域A，则原积分值等于原被积函数在区域A的积分值的两倍。这个有时也会用到，但是如果不熟请不要用。
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