微分方程常见问题

二楼

一阶非齐次线性微分方程。
通解公式:

C1和lnC2的区别。
lnC2是一种简写，原理实际上是红色的常数C换元。两者是完全一致的，只是C1多了一步换元操作。个人不建议用lnC的写法。
蓝色是对应的齐次方程，用分离变量的方法进行求解。
然后将常数C2进行常数变易，用常数变易法进行求解。
注意到g(x)后面的cosx是没有绝对值符号的。
因为绝对值符号在第一处红色的正负号的时候就已经去掉了，然后在第二处红色转为C2，然后正负号在C2中当成常数变易了。
这也就是为什么通解公式中，红色的cosx的绝对值可以直接去掉的根本原因。
碰到这种带绝对值的题目，个人建议使用第一图的凑导数法进行求解，简单方便还不用考虑绝对值。

二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
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根据累加原理，将不同的λ和ω拆成多个方程。方程等式右边的形式如下所示。
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p和q是常数。
λ是常数，ω是常数。
n和l是非负整数，m取n或l里面大的那个数。
k取0或1。不是特征根k取0，单根k取1，二重根k取2，以此类推。二阶常系数里面，虚根最多是单根，不会是多重根。
a，b，A，B都是常数。
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这里讲的虚根的特解，实际上这个设法对于实根一样适用。
令ω=0就是实根，则b和B都不用设，m=l，再将k推广到取0到2的值，实根的设法也就出来了。

二阶常系数非齐次线性微分方程的通解。
齐次推广到非齐次，二阶推广到高阶或一阶。

一、可分离变量的微分方程。
二、齐次微分方程。
三、一阶线性微分方程。伯努利方程。
四、全微分方程。
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最后一个式子，x进出根号前，需要讨论x大于0还是x小于0，此处不严谨。
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y = ux, dy = d(ux) = udx + xdu
dy/dx = u + x * du/dx
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需要分情况讨论。
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需要用到二阶行列式，二阶行列式很简单的，自行百度。
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一阶线性微分方程。
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