古希腊四大悖论
1.两分法悖论
悖论的内容
因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。
这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。因此，我们得出了运动不可能开始的结论。
见《庄子·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”
悖论的解释
其实此悖论的解释如下：
此悖论在设立时有意忽略了一个事实：那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。
此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。
这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。

2.阿奇里斯悖论
动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。
—亚里士多德, 物理学 VI:9, 239b15
如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。 譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。
为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰.我们的实数，极限，微积分都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近.

3.飞矢不动悖论
悖论内容
一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的**，所以可导出一根箭是不可能移动的。 中国古代的名家惠施也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。
悖论提出过程
芝诺问他的学生 “一支射出的箭是动的还是不动的？”
“那还用说，当然是动的。”
“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”
“有的，老师。”
“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”
“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”
“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
“不动的，老师”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”
“也是不动的，老师”
“所以，射出去的箭是不动的？”

悖论总结：
其实四大悖论的关键就是人们没有了解自然界的一个重要概念——“率”的概念。讨论任何“变化”的问题的时候，忽略了变化发生的时候，另一个条件也在同时变化。例如讨论距离的变化的时候，如果你只考虑长度的变化，而忽略了在长度变化时另一个条件“时间”必定也在变化。这就是速率。在速度变化时，有了加速度的概念。加速度变化时，照样可以用加速度变化的多少和时间变化的多少来表示。
哲学是认识世界的方法和理论。虽然我们一旦发现了率的概念，立刻就可以破解所谓“单一条件变化悖论”，但是悖论的意义就在于激发人们寻找世界真相的好奇心。
在上面的四大经典悖论中，我们发现世界的变化并不是单一条件独立变化的，而是多条件同时变化的，这是事实。我们可以用距离除以时间来定义速度，但是速度本身是现实的独立的存在，而不依靠距离和时间。利用距离和时间来表示，仅仅是人们用自己能够感知的概念来表示难以感知和表示的事物罢了。比如我们天天坐汽车，但是我们难以直接感知汽车加速度的变化。但是简单的公式就可以表明这个变化了。

谎言者悖论
谎言者悖论最常见的例子是“我在说谎”这个句子。因若我所说是真（“我在说谎”），那我就不是在说谎；但若我所说是假（“我不在说谎”），那么我就是在说谎了。所以无论这句子是真或不真，情况都不可能成立。
起源
西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”
严格来说埃庇米尼得斯这句话并不能算是悖论，因为这句话一定是错的。如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；假设此言为假，那么也就是说有部分克利特人是不说谎的，则表示埃庇米尼得斯说谎，仍符合假设（即埃庇米尼得斯属于克利特岛的人中说谎的部分）。因此，这句话一定是错的。

苏格拉底悖论
苏格拉底悖论来自于自指句。
死循环：
下面的句子是错误的。
上面的句子是正确的。
如果下面的句子是错误的，那么上面的句子也是错误的。那么下面的句子就是正确的，那么上面的句子就是正确的......就这样陷入了死循环！

现代解释
1.电子与洛伦兹力（参见：洛伦兹力定律）
自从约瑟夫·汤姆孙于1897年发现电子之后，物理学者获得了微观解析这吊诡的能力。注意到移动于磁场 的电子会感受到洛伦兹力 ；其中，q 是电子所带电荷量， 是电子移动速度。如图1所示，呈旋转运动中的圆盘导体，其内部自由电子会感受到洛伦兹力。这洛伦兹力垂直于电子的速度 ，也垂直于磁场 ，而磁场 又垂直于圆盘。所以，按照右手定则，这洛伦兹力的方向（对于电子）是反径向，即朝着转轴的方向；对于正价粒子，洛伦兹力的方向是径向，即朝着圆盘边缘的方向。
当然，这径向力会生成动生电动势，造成电流流动于整个电路，因为它造成了电子的反径向移动。这电子的反径向运动又会生成另一股洛伦兹力，反抗随着圆盘旋转的电子圆周运动，这趋向于使圆盘旋转变慢。因此，只有倚赖不断地施加外力，圆盘才能持续旋转。由于圆盘持续旋转，电流也持续地流动于整个电路。这机制与实验观测相符合：每当圆盘旋转，就会生成电流，不论磁场的属性为何。
应用洛伦兹力定律可以解释法拉第吊诡，但这也在学术界引起极大的争论——到底磁场是否随着磁铁旋转？按照洛伦兹力定律，磁场与导体之间的相对运动，直接地与作用于电荷的洛伦兹力有关，物理学者猜测，对于磁铁与圆盘共同旋转而电动势不为零的案例，磁场应该不会与磁铁共同旋转，否则，磁场就无法与圆盘呈相对运动。
2.数学分析（参见：法拉第感应定律）
对于从金属刷，经过支撑架与转轴，到圆盘中心这一段路径，由于磁场与这路径的包含平面之间互相平行，而不是互相正交，不论是什么器件在旋转，路径积分获得的电动势永远为零。因此，只需要专注于从圆盘中心到金属刷这一段路径。
法拉第定律表明：
任何闭合电路中感应电动势的大小，等于穿过这电路的磁通量的变化率。
以方程表示，

其中， 是电动势，ΦB 是磁通量， 是磁场，∑(t) 是以闭合电路为边缘的任意积分曲面， 是微小面元素。

2.生日悖论（这个值得一看！普普通通的生日日期，其中也蕴含着大奥秘、大学问!)
生日问题
生日问题是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题， 在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。
对此悖论的解释
我们可以把生日悖论理解成一个盲射打靶的问题。对于一个23人的房间，先考虑问题的补集：23人生日两两不同的概率是多少？为此，我们可以让23个人依次进入，那么每个人生日都与其他人不同的概率依次是1, 364/365, 363/365, 362/365, 361/365, 等等。先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是... 345/365, 344/365, 343/365。我们可以把这种概率看成对一张靶的盲射：靶上有365个小格，其中有17个左右是黑格，其余是白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，那么连续射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日都两两不同）是多少呢？想必大家立即会感觉到这个概率并非微小。
因此，理解生日悖论的关键，在于考虑上述“依次进入房间”模型中最后几个进入房间的人“全部都没碰到相同生日的人”概率有多大这件事情。

泛化和逼近
生日悖论可以推广一下：假设有n 个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。
p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?
下面的逼近公式可以回答这个问题

N＝365的结果

泛化
下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?
类似的结果可以根据上面的推导得出。

反算问题
反算问题可能是:
对于确定的概率 p ...
... 找出最大的 n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p,或者
... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。
对这个问题有如下逼近公式:


经验性测试
生日悖论可以用计算机代码经验性模拟

生日悖论也可以用 Microsoft Excel Spreadsheet 模拟

应用
生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。
生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。
不平衡概率
就像上面提到的，真实世界的人口出生日期并不是平均分布的。这种非均衡生日概率问题也已经被解决。[Klamkin 1967]
近似匹配
此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％ 。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:

“鸡与蛋”问题的研究

一只正在从蛋壳里孵化出来的小鸡
1.蛋白质方面的研究
英国华威大学的马克·罗杰教授与大卫·教授在帮助谢菲尔德大学进行试验研究时发现形成鸡蛋硬壳的关键鸡肉蛋白“OC-17蛋白”（ovocleidin-17）的存在贯彻了整个蛋壳形成过程并起到催化的作用，这使得他们认为在“先有鸡还是先有蛋”的问题里首先存在的是鸡或者确切的说是OC-17这种鸡肉蛋白。不过马克·罗杰在报告中的附加引述中说到：“这个发现难道就能证明先有鸡再有蛋吗？我们想强调的‘先有鸡还是先有蛋’这个问题虽然很有趣但是事实上却毫无意义。不过这个这个研究倒是使得学界对高效快速的结晶方法有了新的见解，这项研究也能够在骨头的形成以及二氧化碳是如何被贮存在石灰石等问题提供帮助。”
不过，他们的研究却与早先时候的研究结论有些出入。约翰·布鲁克菲尔德教授及大卫·帕皮诺教授认为，在世界上第一只鸡出现后，在它之前也必定需要并有一颗能够孵出它来的蛋。生物学家P·Z·迈尔斯进一步的指出了前者在研究中的瑕疵，称其他的鸟类会使用与OC-17不同的蛋白质来制造鸟蛋，而且OC蛋白的演变并不能够与鸟蛋的演变向吻合；OC蛋白是从一种古老的蛋白质演变而来，这种蛋白在鸟类分支从爬行动物分离之前便开始参与制造动物的蛋。
2.自然进化方面
进化理论表示物种在通过一定时间的突变以及自然选择后最终可以得到进化。这使得人们相信在历史上的某一刻，某一种像鸡但是不是鸡的物种，由于基因突变，产出了第一颗“鸡蛋”。因为，鸡和鸡蛋都是由鸟和不是鸡蛋的鸟蛋演化而来的，只不过在很长的时间中二者进化的越来越相似而已。
但是，一个个体发生了某些突变并不能认为它就成为了一个新的物种。单个的个体与母体分离并且使得它们之间再也不能够交配，这才是新的物种形成的必要条件；这通常也是家养物种同野生祖先们的分离过程。这些完全遭到分离的族群才能够被称为是新的物种。现代家养鸡往往被认为起源于红原鸡，不过最新的研究结果表明家养鸡是由灰原鸡和红原鸡杂交得来的。如果鸡蛋正如后者的情况下出现的话，那么根据前面所提到的新物种的种种定义，可以得出这世上是先有鸡蛋再有鸡。
3.宗教观点与神话故事
犹太教及基督教的神话传说中都表明是上帝创造了世间的种种，其中也当然包括鸟。犹太教及基督教的神话中提到上帝创造了鸟类并让它们繁衍后代，但是神话中并没有提到蛋的事。例如创世纪第一章：
有晚上，有早晨，是第四日。神说，水要多多滋生有生命的物，要有雀鸟飞在地面以上，天空之中。神就造出大鱼和水中所滋生各样有生命的动物，各从其类。又造出各样飞鸟，各从其类。神看着是好的。神就赐福给这一切，说，滋生繁多，充满海中的水。雀鸟也要多生在地上。
单从字面上看，创世纪一文认为鸡出现在蛋的前面。
在印度的经书中记载，神创造了鸟及其他一切生命形式。不过，印度的传说中所谈到的蛋被扩大到了非鸡蛋的蛋的范围，印度的神话也提到了“宇宙蛋”（即梵天诞生的金卵，金卵的其他部分扩张为整个宇宙）这个概念。
而在中国神话中，认为天地是由盘古“开天辟地”所致，而当时混沌的世界就如同一个蛋一样。
4.“永恒轮回的时间”所给出的结论
在佛教信仰中，人们认为时间其实是永恒并且不断轮回重复的，在这一点上一些古中北美文化（玛雅及阿兹特克）信仰与此也十分相似。他们认为当将“谁先出现”这个问题与不断轮回的时空联系到一起时是不可能得到答案的。因为已经假设时间是永恒且不断重复的，所以就不可能一个永恒的“第一个”，且也就根本没有什么“创造”。由此得到的答案就是：谁都不是“第一个”，在不断轮回重复的时空里不存在“第一个”。
5.鸡蛋的定义
在整个问题中，有一点往往被大家所忽略，那就是（鸡）蛋的定义问题。鸡蛋指的是鸡所下的蛋还是指能够孵出鸡来的蛋？如果是前者，那么当然是先有的鸡，如果是后者则反之。但是这个问题便于哲学家们所提出的问题有了不小的出入，哲学家们所问的是蛋是在鸡前还是之后出现，但是后者则已经确定了这一切，所以完全可以很轻松的回答出来。