导语：这是朗道集结号的一位读者在微博上提出的问题，另一位读者给出了回答，现发布于此，希望能惠及更多读者。 欢迎其他朋友补充完善。
问：对于一维无限深势阱问题，0<x<a的时候，v(x)=0；当x>=a或x<=0时，v(x)=∞；第n个本征解是：当0<x<a时，Fn(x)=Asin(nπx/a)；当x>=a或x<=0时，Fn(x)=0 ;这个本征态系显然不是完备的，也就是说存在某些平方可积函数，不能分解为Fn的线性叠加。这不是与量子力学本征态完备公理矛盾吗？如果说无限深势井的势能因为涉及无穷，不属于数学函数，才导致不完备的话，那么对于有限深势井的本征态，同样也是不完备的。
答：“存在某些平方可积函数，不能分解为Fn的线性叠加”，这句话是想说什么意思？是否有具体的函数的例子？
问：无限深势井的波函数在x>a或者x<0时都是0，那么，对于任何一个在x>a或者x<0的范围内不为0的波函数，不是都不能表示成势井的本征函数的线性叠加吗？
答：没错，如果用那些本征函数（就是一系列0到a上的正弦函数）叠加起来，肯定得到的是0到a区间以外都是0的函数，得不到0到a区间外非0的函数，但是0到a区间以外都是0是边界条件决定的，只有这样才是物理的解，如果在无限深势井外还有非0的分布，就是错误的非物理的解了。
问：但是，在0到a以外区间不为0的波函数也是存在的，比如其他系统的波函数。对于一维无限深势井的哈密顿量是H，其状态是区间外是0，但是对于另一个哈密顿H’，其波函数在0到a区间外可能不为0，按照量子力学，H*的任意状态应该可以由H的本征态叠加出来，这就出现问题了。在微扰论的推导过程中，就存在H0 和H=H0 H*两个哈密顿量，并且还把H的状态，用H0的本征态叠加出来了（也就是0级波函数）。所以用势井的本征态应该也可以叠加出其他H的状态才对啊？这里不明白。
答：就那你说的H=H0+H*来说，H0是原来说的的0到a的势井，0到a区间的外边是无穷大，H0的解就是那些正弦函数的叠加。现在加上一个H*，先说它是个微扰，那么0到a区间内就是H=H0+H*=0+H*=H*，即0到a区间内哈密顿量是H*，而0到a区间以外，是无穷大加有限大的H*，结果还是无穷大，所以加上H*后，还是无穷深势井，只不过在0到a区间的势井底部不是原来的0而是有起伏的H*了，但是只要是无穷深势井，那么物理解的边界条件必须是0到a区间外波函数为0，这样的物理解一定能被0到a上的正弦函数完备地展开。再说H*是无穷大，这就不是微扰了，如果一定要假设一个正无穷大势井加上一个负无穷大势井去得到一个有限大的势井，那整个物理问题在加上H*后就全变了，你可以说现在0到a上的正弦函数不完备了，但是加上一个负无穷大势井也不是什么好的物理问题。更不用说正无穷大即使加上负无穷大，结果还是不定的，可以是任意实数，所以不是一个well defined的问题。
问：非常感谢，问题已解决！
问：对于一维无限深势阱问题，0<x<a的时候，v(x)=0；当x>=a或x<=0时，v(x)=∞；第n个本征解是：当0<x<a时，Fn(x)=Asin(nπx/a)；当x>=a或x<=0时，Fn(x)=0 ;这个本征态系显然不是完备的，也就是说存在某些平方可积函数，不能分解为Fn的线性叠加。这不是与量子力学本征态完备公理矛盾吗？如果说无限深势井的势能因为涉及无穷，不属于数学函数，才导致不完备的话，那么对于有限深势井的本征态，同样也是不完备的。
答：“存在某些平方可积函数，不能分解为Fn的线性叠加”，这句话是想说什么意思？是否有具体的函数的例子？
问：无限深势井的波函数在x>a或者x<0时都是0，那么，对于任何一个在x>a或者x<0的范围内不为0的波函数，不是都不能表示成势井的本征函数的线性叠加吗？
答：没错，如果用那些本征函数（就是一系列0到a上的正弦函数）叠加起来，肯定得到的是0到a区间以外都是0的函数，得不到0到a区间外非0的函数，但是0到a区间以外都是0是边界条件决定的，只有这样才是物理的解，如果在无限深势井外还有非0的分布，就是错误的非物理的解了。
问：但是，在0到a以外区间不为0的波函数也是存在的，比如其他系统的波函数。对于一维无限深势井的哈密顿量是H，其状态是区间外是0，但是对于另一个哈密顿H’，其波函数在0到a区间外可能不为0，按照量子力学，H*的任意状态应该可以由H的本征态叠加出来，这就出现问题了。在微扰论的推导过程中，就存在H0 和H=H0 H*两个哈密顿量，并且还把H的状态，用H0的本征态叠加出来了（也就是0级波函数）。所以用势井的本征态应该也可以叠加出其他H的状态才对啊？这里不明白。
答：就那你说的H=H0+H*来说，H0是原来说的的0到a的势井，0到a区间的外边是无穷大，H0的解就是那些正弦函数的叠加。现在加上一个H*，先说它是个微扰，那么0到a区间内就是H=H0+H*=0+H*=H*，即0到a区间内哈密顿量是H*，而0到a区间以外，是无穷大加有限大的H*，结果还是无穷大，所以加上H*后，还是无穷深势井，只不过在0到a区间的势井底部不是原来的0而是有起伏的H*了，但是只要是无穷深势井，那么物理解的边界条件必须是0到a区间外波函数为0，这样的物理解一定能被0到a上的正弦函数完备地展开。再说H*是无穷大，这就不是微扰了，如果一定要假设一个正无穷大势井加上一个负无穷大势井去得到一个有限大的势井，那整个物理问题在加上H*后就全变了，你可以说现在0到a上的正弦函数不完备了，但是加上一个负无穷大势井也不是什么好的物理问题。更不用说正无穷大即使加上负无穷大，结果还是不定的，可以是任意实数，所以不是一个well defined的问题。
问：非常感谢，问题已解决！
