一 ，前言
创立非标准分析的鲁宾逊于1964年在逻辑学、方法论和科学哲学国际会议上所作报告指出：
“关于数学基础，我的立场（见解）是基于如下的两个原则：
（1）无穷集按任何词义来说都不存在（无论在实际上或理论上都不存在），更精确地说，关于无穷集的任何陈述或大意陈述都在字面上简直是无意义的。
（2）但是我们还是应该如通常那样去从事数学活动，就是说当我们做起来的时候，还是应该把无穷集当作似乎是真实存在的那样。”
近现代主流数学理论认为：实数集R具有稠密性，也就是在数轴上，任何两个实数a和b，a＜b，存在c ，a＜c＜b；实数集R中的实数添满了数轴使数轴上没有空隙了；实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
可以证明的是：上面这种数学思想在它们的数学体系中，是存在自相矛盾和错误的；像自然数集N不具有稠密性一样，实数集R也不具有稠密性；实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）不是封闭的。
实数集R不具有稠密性，R存在最大数和最小数，R是有穷集
这个证明暂称之为一个数学上的悖论，供人们理解和思考鲁宾逊的数学哲学观之用。

第1部分：D删不净定理，N删不净定理
存在一种从一个非空的实数集D（D是实数集R的子集）中删除元素，但却不可能把该集盒中的所有元素都删除掉的方法。删不净定理就是关于这种删除元素的方法的一个定理。
非空的实数集D删不净定理，简称D删不净定理，它是这样的：
我们按照下面的规律从D中删除它的元素：
如果实数集D中存在的不同元素不少于2个元素，则D中存在元素b1以及比b1更大的元素，在这样的条件下，我们第1次从D中删除≤b1的所有元素；
之后，如果D中剩余的不同元素不少于2个元素，则D中存在元素b2以及比b2更大的元素，在这样的条件下，我们第2次从D中删除≤b2的所有元素；
之后，如果D中剩余的不同元素不少于2个元素，则D中存在元素b3以及比b3更大的元素，在这样的条件下，我们第3次从D中删除≤b3的所有元素；
依此类推，…
按照这种删除D中元素的规律，我们不可能把D中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把D删成空集）。
下面我们来证明D删不净定理：
在D中存在的元素不少于2个元素的条件下，我们从D中删除1个元素b，则D中必然还有剩余元素。我们将这一结论称为有剩余定理。
在D中只有1个元素的条件下，我们从D中删除1个元素b，则D中必然没有剩余元素，我们将这一结论称为无剩余定理。
由无剩余定理和有剩余定理，我们必然能得到这个结论：对于D，当且仅当在D中只有1个元素的条件下，我们从D中删除1个元素a，D中才会没有剩余元素，否则D中不可能没有剩余元素。
因为，按照D删不净定理程序从D中一次接一次地删除元素的每一步骤，都遵守有剩余定理，并且没有一次遵守无剩余定理，所以，按实数集D删不净定理程序从D中一次接一次地删除元素，我们不可能把该集中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把集D删成空集）。
D删不净定理证毕。
提出D删不净定理的目的，是为了证明自然数集和实数集是有穷集。
我们应用D删不净定理对自然数集N（在此情况下，D=N）的元素进行删除，并规定删除N中的元素的顺序为：按照从小到大的顺序，一个接一个地删除N中的元素。这样的话，我们便得到下面的一个关于自然数集N的删不净定理，简称N删不净定理：
在N中存在的不同元素不少于2个元素的条件下，我们第1次从N中删除第1个元素1；
之后，在N中剩余的不同元素不少于2个元素的条件下，我们第2次从N中删除第2个元素2；
之后，在N中剩余的不同元素不少于2个元素的条件下，我们第3次从N中删除第3个元素3，依此类推，…
按照这种删除N中元素的规律，我们不可能把N中的所有元素都删除掉（即删不干净，不能把N删成空集）。
现在我们证明：按照N删不净定理，我们从自然数集N中能删除掉的所有元素组成的集盒U，就是自然数集N中的所有存在后继数的数组成的集盒W，即：
U=W
下面证明这个结论：
对于W中的任何一个数x，因为x与其后继数x+1为N中的2个不同元素，不少于两个元素，所以，按照N删不净定理，x是在有限步骤内完成删除的第x个元素。这就证明了：
若x∈W，则x∈U，即x∈W→x∈U。因此，W是U的一个子集。
又因为U中不可能包含自然数集N中的无后继数的元素（按照N删不净定理，不允许删除这类元素），因此，U是W的子集。
这样的话，按照两个集盒相等的定义（即：若W∈U，U∈W，则U=W）可证明：
U=W。

第2部分：由实数集D删不净定理证明：自然数集N是有穷集
前面已证明，按照N删不净定理，我们从自然数集N中能删除掉的所有元素组成的集盒U，就是自然数集N中的所有存在后继数的数组成的集盒W，即U=W。自然地，按照实数集D删不净定理程序对自然数集N（在此情况下，D=N）的元素进行删除，U=W是成立的。
令命题a为：按照D删不净定理程序对自然数集N（在此情况下，D=N）的元素进行删除，在三次操作之内（即三步操作之内），能够将W中的所有元素都从N中删除掉（即能够将W删成空集）。
令与a相矛盾的命题b为：按照D删不净定理程序对自然数集N的元素进行删除，在三次操作之内（即三步操作之内），不能够将W中的所有元素都从N中删除掉（即不能够将W删成空集）。
无疑地，命题b与a在逻辑上是矛盾关系：若b真，则a假；若b假，则a真。
由命题b可推出命题c：按照D删不净定理程序对自然数集N的元素进行删除，在三次操作之内，W中至少剩余一个元素x。
命题c断言，在三次操作之内，W中至少剩余一个元素x。若c是真的，无疑地，W中存在≤x-1的元素，我们设W中的所有的≤x-1的元素组成的集盒为A，A是W的子集；W中存在≤x的元素，我们设W中的所有的≤x的元素组成的集盒为B，B是W的子集。
由命题c可推出命题d：按照D删不净定理程序对自然数集N的元素进行删除，在三次操作之内，至多能够将W中的所有的≤x-1的元素都删除掉，即最多能够删除W的子集A中的所有元素。
由命题d可推出命题e：按照D删不净定理程序对自然数集N的元素进行删除，在三次操作之内，不能够将W中的所有的≤x的元素都删除掉，即不能够删除W的子集B中的所有元素。
我们很容易证明e是假的。
【证明】 按照D删不净定理程序对自然数集N的元素进行删除，在三次操作之内，能够将W中的所有的≤x的元素都删除掉。
出现矛盾，故e是假的。
由e是假的，可推出b是假的。由b是假的，可推出a是真的。
因a是真的，所以，在三次操作之内，能够将W中的所有元素都从N中删除掉（即能够将W删成空集）。
因为，按照D删不净定理，不可能将自然数集N中的所有元素都删除掉，所以，在将W中的所有元素都删除掉之后，自然数集N中必然还存在剩余元素-----无后继数的自然数，这就是自然数集中的最大数k。
由此可证：
自然数集N是有穷集。

为了更好地理解上面的论证，这里做一点补充性说明。
命题a和b，都是对D删不净定理在三次操作之内（即三步操作之内），至多能删除W中的多少个元素（即由从W中删除掉的所有的元素组成的集盒，至多（即最多）含有多少个元素）的断言，都是对D删不净定理在三次操作之内（即三步操作之内）删除W中的元素的能力大小的断言。
命题a断言，D删不净定理在三次操作之内删除W中的元素的能力在大小性方面，达到了能够将W中的所有元素都从N中删除掉（即能够将W删成空集）的程度。
命题b断言，D删不净定理在三次操作之内删除W中的元素的能力在大小性方面，没有达到能够将W中的所有元素都从N中删除掉（即能够将W删成空集）的程度。
每一种具体的能力在大小性方面具有确定性，是指它不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2，z1比z2大，或z2比z1大。这是由矛盾律决定的。
命题a和b存在矛盾关系，就是因为能力不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2。命题a和b存在矛盾关系的必要条件是，任一具体能力不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2。
命题d断言，按照D删不净定理程序对自然数集N的元素进行删除，在三次操作之内，至多能够将W中的所有的≤x-1的元素都删除掉，即最多能够删除W的子集A中的所有元素。
因此，命题d断言的是，按照D删不净定理程序在三次操作之内删除W中的元素的能力的大小性值z，最多能达到将W中的所有的≤x-1的元素都删除掉的程度，即z≤(x-1)个元素，也就是z≤W的子集A的基数(x-1)。
上面已经证明，z≥x个元素，也就是z≥W的子集B的基数x。
这样的话，就出现了：既z≤(x-1)个元素，又z≥x个元素。但是，任一具体能力不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2。因此产生矛盾，故命题d是假的，因此命题a是真的。
下面用具体实例说明这个问题。
一种能力的大小都是指该能力大小性达到的最大值、极大值（常用“极限”这个词语表达），否则能力的大小、强弱的概念就无存在价值了。可见，超过某能力大小性范围内的东西，是该能力无法达到的东西。
能力的大小性值不能同时具有两个不同的z1和z2，这是由矛盾律决定的。因此，D删不净定理程序在三次操作之内的这个z值是唯一的、确定的。
按照N删不净定理程序，在三次操作（即三步操作）之内，至多能删除W中的三个元素“1,2,3”。 “删除W中的三个元素”，这是N删不净定理在三次操作之内删除W中的元素的能力的“大小性值”，用z表示“大小性值”，则z＝3。当然，该程序有能力在三次操作之内删除W中的2个元素，但z≠2，因为能力的“大小性值”是指该能力的大小性达到的“最大值”（常用“极限”这个词语表达）。
按照D删不净定理程序在三次操作之内删除D中的元素的能力的大小性值z，对不同的D对应不同的z。
对于集盒H1={1,2,3,4,5,6,7,8}，在此情况下D=H1，z=7。
对于集盒H2={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}，在此情况下D=H2，z=10。
按D删不净定理程序在三次操作之内删除实数集R中的元素的能力的大小性值z，z＞7是成立的。z＞7成立，证明该z是有意义的，不是无意义的。
D删不净定理程序在三次操作之内的这个z值是唯一的、确定的。
因为这个z值是唯一的、确定的，所以，按D删不净定理程序在三次操作之内删除掉的实数集R中的元素是唯一确定的，即由被删除掉的R的元素组成的集盒*R是唯一的、确定的。
因为这个z值是唯一的，所以，按D删不净定理程序在三次操作之内删除掉的自然数集N中的元素也是唯一确定的，即即由被删除掉的N的元素组成的集盒*N也是唯一的、确定的。
因为集盒*N是唯一确定的，所以，按D删不净定理程序在三次操作之内，能够删除掉W中所有元素的那个证明是正确的。

为了更好地理解上面这一证明，这里做一点补充性说明。
按照自然数集N删不净定理程序，依自然数从小到大的顺序一个接一个地删除掉N中元素：1→2→3→…→n→…，能够将W中的所有元素都从N中删除掉。
这是对N删不净定理删除W中的元素的能力大小的断言，它断言了------N删不净定理删除W中的元素的能力大小------达到了“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度。
若否定这个断言，就是肯定“N删不净定理删除W中的元素的能力大小，没有达到“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度”。
每一种具体的能力在大小性方面具有确定性，它不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2，z1比z2大，或z2比z1大。这是由矛盾律决定的。
按照N删不净定理程序删除W中的元素的能力大小，要么达到了“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度”，要么没有达到了“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度”，二者必居其一，不能同时成立。
这两个大小不同的删除能力存在矛盾关系，就是因为能力不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2。这两个大小不同的删除能力存在矛盾关系的必要条件是，任一具体能力不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2。
假设按照N删不净定理程序删除W中的元素的能力大小，没有达到“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度，那么，按照N删不净定理程序对W中的元素进行删除，W中至少剩余一个元素x。
由此可推出命题j：按照N删不净定理程序对W中的元素进行删除，至多能够将W中的所有的≤x-1的元素都删除掉。
由j可推出命题k：按照N删不净定理程序对W中的元素进行删除，不能够将W中的所有的≤x的元素都删除掉。
容易证明，命题k是假的。
【证明】因为U=W，x∈U，按照N删不净定理程序，x在第x次删除操作中被从U中删除掉了。
出现矛盾，故命题k是假的。
由命题j可推出，按照N删不净定理程序删除W中的元素的能力的大小性值z，最多能达到将W中的所有的≤x-1的元素都删除掉的程度，即z≤(x-1)个元素，(x-1)个元素是指从W中删除掉的元素的个数。
由命题k可推出，按照N删不净定理程序删除W中的元素的能力的大小性值z，不能达到将W中的所有的≤x的元素都删除掉的程度，即z＜x个元素，x个元素是指从W中删除掉的元素的个数。
因为命题k是假的，所以，z≥x。
命题j断言z≤(x-1)个元素，命题k断言，z＜x个元素，二者是等价的，是同一回事。J和k是假的，所以z≥x个元素。因为，任一具体能力不能同时具有两个不同的大小性值z1和z2，所以既z＜x个元素，又z≥x个元素是矛盾的。
因此，按照N删不净定理删除W中的元素的能力大小，没有达到“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度的断言是假的。
所以，按照N删不净定理删除W中的元素的能力大小，达到了“能够将W中的所有元素都从N中删除掉”的程度的断言是真的。

好长的帖子。

按照实无穷论者的观点，是能够将W中的所有元素都从N
中删除掉的。
主帖已经证明，按照自然数集N删不净定理，我们从自然数集N中能删除掉的所有元素组成的集U，就是自然数集N中的所有存在后继数的数组成的集W，即U=W。
这就是说，按照自然数集N删不净定理程序，依自然数从小到大的顺序一个接一个地删除掉N中元素：1→2→3→…→n→…，能够将W中的所有元素都从N中删除掉。
实无穷论者认为，无穷过程能进行完毕。按照实无穷论者的观点，是能够将W中的所有元素都从N中删除掉的。实无穷论者认为他们成功地解决了千古难题“芝诺悖论”，使用的证明方法就是无穷过程能进行完毕的无穷观。芝诺悖论有很多翻版。
下面是按实无穷论者的观点进行的论证及产生的矛盾：
按照自然数集N删不净定理程序，用1/2分钟删掉了W中的1，然后用1/4分钟删掉了W中的2，然后用1/8分钟删掉了W中的3，然后用1/16分钟删掉了W中的4，依此类推重复下去，…
当到达1分钟时，按照自然数集N删不净定理程序，W中的所有元素都删掉了，即所有存在后继数的自然数都被从N中删除了。若W=N，则将N中的所有元素都删除掉了，与自然数集N删不净定理“相矛盾”。
上面的无穷个项的和（即收敛的正项级数的和）是：
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 … =1

与本主帖类似的几个著名无穷悖论
1，汤姆森灯悖论
汤姆森灯是由一个按钮开关控制着的，按一下灯亮，再按一下灯灭，再按一下灯又亮。一个超自然的精灵喜欢玩这盏灯：把灯点亮1/2分钟，然后熄灭1/4分钟，再点亮1/8分钟，再熄灭1/16，依此类推。1/2+1/4+1/8+…这个级数等于1。到1分钟结束时，这个精灵按了无穷次开关。现在问：到1分钟结束的最后一瞬间，灯是亮的还是灭的。
根据上述对此灯的操作描述，我们可以判定电灯按钮每按奇数次，灯亮，每按偶数次，灯灭。另一方面，无可辩驳的一点是，灯最终要么是亮着的，要么是灭着的。但令人奇怪的是，我们根本无法知道最后灯是亮着的还是灭着的。对于这个问题，持潜无穷观点的人会不回答这个问题，因为任何无限过程都不能进行完毕。而持实无穷观点的人碰到这个问题，它可不能回避它，实无穷论者都承认无穷进程能进行完毕，但实际上他们却无法回答。
按实无穷观，本主帖的删数过程能进行完毕，即当到达1分钟时，按照自然数集N删不净定理程序，W中的所有元素都删掉了，即所有存在后继数的自然数都被从N中删除了。
2，汤姆森灯的另一种形式是抛球悖论：
设有甲、乙二人互相抛球，甲先用1/2分钟时间把球抛给乙，而乙随之又用1/4分钟时间把球抛给甲，而甲又用1/8分钟时间把球抛给乙，如此往复以至无穷。1/2+1/4+1/8+…这个级数等于1。
现在问：到1分钟结束时，球落在了甲手中还是乙手中？抛球悖论也是芝诺悖论的一种引伸和翻版。
3，圆周率机悖论
打开圆周率机之后，它迅速地计算圆周率的各位数字，每计算完一位数字，这个数字就显示在圆周率机的窗口中：圆周率机用1/2分钟时间计算完圆周率的第1位数字，用1/4分钟时间计算完圆周率的第2位数字，用1/8分钟时间计算完圆周率的第3位数字，如此往复以至无穷。1/2+1/4+1/8+…这个级数等于1。
到1分钟结束时，圆周率机窗口显示的是圆周率的最后一位数字。这纯粹是痴人说梦，因为圆周率的最后一位数字不存在。
4，皮亚诺机悖论
这台机器像是一只伸缩的笛子，笛子上标有刻度，像尺子一样。一端标有数字0，另一端标有数字1。一个游标从1滑到0端需要1分钟，匀速滑动。当游标经过的点的刻度为整数的倒数1/n时，一只机械嘴会读出这个整数。
在这1分钟的开始之处，游标位于刻度1，而1的倒数1/1是1，这时机器朗读1；当游标移动到0.5处时，0.5的倒数1/0.5是2，这时机器朗读2，依此类推。在1分种结束时，每个自然数都被皮亚诺机朗读出来了。
按实无穷观，本主帖的删数过程能进行完毕，即当到达1分钟时，按照自然数集N删不净定理程序，W中的所有元素都删掉了，即所有存在后继数的自然数都被从N中删除了。
现代人设计出的“无穷机器悖论”，都是在芝诺悖论的启发下诞生的翻版。他们质疑的是我们现有知识的脆弱性，而非运动。关于无穷级数的现代理论无助于消解这些问题。每台机器的操作，都属于超级任务，其动作涉及无穷。然而这些动作可以清晰地描述，尽管动作本身也许是不可能的。思想试验嘛，以毒攻毒-----无穷观念。这些问题的答案，只能通过离散的有穷理念来消解，别无它途。

“命题c断言，在三次操作之内，W中至少剩余一个元素x。若c是真的，无疑地，W中存在≤x-1的元素。”
这一点有问题。
若要说“W中存在≤x-1的元素”，请先证明x-1的存在性，
已知W的定义是“有后继数的自然数”，
而非“是某个自然数的后继数的自然数”（或简写为“有前数的自然数”），
于是x-1未必存在。请说明这一点。

首先是关于证明自然数集是有穷的反驳：
❶你就这么确定W≠N？你说这与你那冠冕堂皇的「D删不尽定理」【矛盾】，这是不对的，应该说，此时「D删不尽定理」无法应用到N上。
❷你只是觉得自然数集存在没有后继数的最后一个数而已，假如自然数全都有后继数你能怎么着？
（我知道你说的自然数不是皮亚诺定义的那个，甚至是从来没有定义过的，像asmobia兄说的，有种说出你的定义，这样你就自己一个人用自己定义的自然数集去生活好了。）
然后？然后等你怎么反驳我。
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1，W≠N是推出的结论。「D删不尽定理」无法应用到N上的观点不对，与N相悖的一切前提都不适用于N，N就成了不可反驳的绝对真理了。
2. N是假设的，证明其不存在是正当的。
3，我定义的正整数是现实世界的对应物。但我证明的是主流自然数存在矛盾-----内在矛盾：悖论。

太长不看