以下用(x)表示x为循环节。
令A={一切小于0.(9)的有限小数}，B={一切小于1的有限小数}，
那么任意x∈A => x∈B，以及任意x∈B => x∈A。
因而，A=B。
但是显然，sup A=0.(9)，sup B=1。
根据上确界的存在唯一性，0.(9)=1。

把0.9（循环）看成一个无穷级数
即：0.9（循环）=0.9+0.09+0.009+.........
该级数收敛于1 。
但在微积分中，求的是极限，没有直接划等号一说。
目前为止，数学家并有没有证明出“收敛于”和“等于”是相等的，所以在目前看来，0.9（循环）不等于1。

回复2楼。
虽然我认同0.99…… = 1 。 但是觉得你的证明不严密。
A={一切小于0.(9)的有限小数}，B={一切小于1的有限小数}，
当x = 0.9……时，显然 x不属于A 但无法推导出 x不属于B。（这是任意x∈B => x∈A的逆反命题的反例证）
你在做“任意x∈B => x∈A”的时候用了潜在前提:“0.(9)不小于1”。
所以这个证明是无效的。

不对。
我说得清楚些吧。
x∈A => x∈B：
如果x≤0，显然。
如果x>0，那么由定义，这是纯小数。亦即，x可以写成0. a1 a2 a3 ... an的形式。——所谓有限小数，当然可以明确指出它有n位。
于是，按照有限小数比大小的法则，x<1，x∈B。
x∈B => x∈A
如果x≤0，显然。
如果x>0，那么由x<1可知，x可以写成0. a1 a2 a3 ... an的形式。
如果对于i<n，有ai<9，那么显然x = 0.a1 a2 ... ai < 0.99..9(共i位) < 0.(9)。
如果a1 = a2 = ... = an，那么x = 0.99..9(共n位) < 0.(9)。
因此，x∈A。
你的例子：
当x = 0.9……时，x是个无限小数。当然既不属于A，也不属于B。

如果对于i<n，有ai<9，那么显然x < 0.a1 a2 ... (ai+1) ≤ 0.99..9(共i位) < 0.(9)。
刚才写错了，改一下。

x=0.9999999
10x=9.999999=x+9x
9x=9
x=1
0.99999=1

因为0.99…9=1所以0.99…8=0.99…9，那么0=1？

0.999无限接近1？一个无限接近另一个，他们之间相等？既然想等为什么你要说他是无限接近呢？你敢说他不是无限接近吗？求破

需要如此复杂吗？
愚以为：1/3=0.333...这个没问题吧！
0.333...*3=0.999...=3*1/3=右边，所以，等式成立

就比较大小吧 1的最高位是个位1， 0.9（循环）的最高位是个位0
所以1>0.9(循环)

我觉得。。。不就是差了那么0.0000...1么？【头脑简单，表pia我】

我不认同0.999...=1怎么办？
0.999....的1000次方和1的1000次方应该不相等吧？小学生求指点

试试这样行不行：
1.证明0.（9）的极限是1。证明方法：把它看成一个常数数列{xn}(xn=0.(9))，再设置一个数列{yn}（yn=0.99..9，n个9，可以用((10^n)-1)/10^n来表示），和另一个常数数列{zn}（zn=1）。对任意的n,存在yn<=xn<=zn，且yn极限=zn极限=1，用逼夹原理可得xn极限为1.
2.常数的极限是它本身。（这个是极限的性质吧？本解的关键，或者我记错了？？？记错了当我没来过。。。- -!!!）
3.所以0.(9)本身就是1