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8929 K200的一则困难性质
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hyperabola_nc
核心吧友
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这是本新人在纯几何吧的第一帖,感谢大家的关注和支持。
三角形ABC内的一点D的塞瓦三角形为EFG,形内一点H满足四边形AGHF、BEHG、CFHE均为圆外切四边形。证明:上述四边形的内切圆中两两的不过H的三条内公切线以及DH直线四线共点。特别地,当D为Nagel点时,所共之点即为D。
发现这个结论的过程比较特别:当F为重心或Soddy点的时候都是我见过的正确结论,后来我发现D为Nagel点的时候结论仍然成立。于是我猜想P的轨迹是一个三次曲线,并查到这个三次曲线即为K200。
用Geogebra验证发现一般结论仍然成立。不过我不会证这个结论。
Lovexin0702
铁杆吧友
8
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mol大佬,本题我连图都不会作
(话说吧里最近真的很流行三次曲线,可我就只会点Neuberg)
TrickSux
铁杆吧友
9
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可以先用动度法确定曲线次数(然而我是直接用解析法暴力计算),然后代入特例即可得证
TrickSux
铁杆吧友
9
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我又梳理了一下思路,以下(仅)为证明思路(在下也是学生嘛
)
1、如果H满足,那么H的等截共轭点也满足
2、证明A、B、C满足条件,且在A、B、C的切线数仅为一条
3、由于结论代数推导时是一些多项式的联立,所以曲线是多项式曲线
4、由三线坐标,曲线次数满足2n-3=n,解得n=3
5、验证G、A-重心等符合题意,于是轨迹为主等截共轭三次曲线
6、验证A、B、C处切线交于的点K,K的等截共轭点即为枢点
以上思路对一般证明轨迹是三次曲线都适用,应该能做
hyperabola_nc
核心吧友
6
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个人感觉三次曲线是容易得到的,但是最终结论(就是那个三点共线)似乎是不易的,楼上可能理解错我的意思了?
hyperabola_nc
核心吧友
6
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我 顶 我 自 己,同时预告一道新题...?
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