涉及到化学平衡、热力学和动力学
化学平衡：生成物脱离反应体系(如挥发气体、沉淀)，可促进反应继续进行
化学平衡之沉淀溶解平衡：任一沉淀物都不是绝对不溶，一定有一个(非常低的)溶解度——沉淀物的质量低于其溶解度时，其显然不会表现出沉淀现象(反之才会出现可见沉淀)
——既然不会出现沉淀，既没有脱离反应体系(水相)，那么就不会促进生成沉淀的化学反应继续进行(简称：不反应)
碳酸钡沉淀，本质上是游离钡离子和游离碳酸根离子发生反应——然后生成的碳酸钡远大于其溶解度，表现为沉淀
碳酸，是弱酸(或，极不稳定)——其在水中解离出游离碳酸根极少，少到不足以与游离钡离子结合出现沉淀的程度——故不会出现可见沉淀，也就是，不反应

原理楼上解释得比较完整了。我做一点概括。
初中范围内的复分解反应，不违背“强制弱”的原则，气体总是最优先生成的（因为会脱离体系，有时需要加热促进气体逸出）。沉淀分两种，可溶于酸的沉淀（难溶性碳酸盐和氢氧化物）和难溶于酸的沉淀（氯化银、硫酸钡），前者可以和酸反应产生气体或水。

反过来可以是镜像。向氯化钡溶液中通二氧化碳没有沉淀。

先看氧还，再看沉淀的Ksp够不够生成沉淀，否则酸碱