伯颜和巴依意思一样的，都是“富有的人”的意思，发音很接近。波耶我看百度说是10世纪就有这个词了，跟这两个应该不是同一个词

波耶是俄语Boyarin，在基辅罗斯时代就有了，蒙古征服要等到13世纪，应该不太可能互相影响。
当然，这几个词也指富裕人家，巴依应该就是Bey/Beg，事实上阿凡提这个称呼就是阿拉伯语的“智者”、“尊贵的人”Effendi，《达芬奇恶魔》电视剧里面对奥斯曼王子的称呼就是Beyeffendi，尊贵的王子。
功能上，这几个词所代指的阶层也比较像，往往都是军队里的贵族军人，但阿拉伯语和奥斯曼时代的不少称呼其实都来自波斯语就是了。