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协变导数这样来理解：比方对于一个矢量求导，矢量包含分量和基矢量，比方矢径r=xi+yk+zk，前面是分量后面是基，求导的话自然既要对分量求导又要对基矢量求导，当然如果是直角坐标基的话，求导的结果是零，但如果是曲线坐标系的话，基矢量不是常量，求导后就会出现新的一项，这一项也是矢量，它的分量（也就是矢量前的系数）就是克氏符。因此对矢量求导数，就应该包括两项，前一项是对分量的导数（普通导数），后一项是对基矢量的导数（克氏符项），对于更高阶的张量也是一样，把张量写成并矢形式，然后一项项求导。
这个命题叙述的就是对基矢量求导的结果，后面那个▽是对某个基矢量求导，前一个矢量是表明沿哪个方向求导，也就是取哪个方向的分量，类似于方向导数（如果不指明求导方向的话，矢量的导数可能包含各个方向的分量）最后的结果就是该方向或者说该基矢上的求导结果（矢量的导数在相应基矢前的分量），也就是我们所说的克氏符。

@rollkite 我修改了一下，思路还是大同小异，换了表述……帮我把把关吧，另外也有一步好像有点不太确定

@rollkite 我在琢磨公式适用范围时，发现3.1节的vᴬ▽ᴀf =v(f)和3.2节的Tᴮ▽ʙ vᴬ结合一下也能证明习题（虽然不该用3.2的内容，但只要没有循环证明应该也还好）
一、关于3.1节的vᴬ▽ᴀf =v(f)
　　v是一个(1,0)张量场，但分量vⁱ是个函数，🐔矢(∂/∂xʲ)在坐标域上也能构成矢量场，于是：
　　(∂/∂xʲ)ᴬ▽ᴀ vⁱ =∂vⁱ/∂xʲ ，即vⁱ,ⱼ
二、关于3.2节频频出现的Tᴮ▽ʙ vᴬ
　　v是一个(1,0)张量场。▽v是一个(1,1)张量场，分量是vⁱ;ⱼ，🐔是(dxʲ)⊗(∂/∂xⁱ)
　　现求v在p点沿某方向的协变导数，方法是（引入过p点曲线以）找出该方向切矢T，然后让T和▽v作用，即Tᴮ▽ʙ vᴬ，作用的结果又回到(1,0)张量场
　　现指定“方向”就是p点附近局域坐标系的🐔矢∂/∂xʲ的方向，所以(∂/∂xʲ)ᴮ▽ʙ vᴬ是v沿该方向的协变导数，亦是个(1,0)张量场，分量仍是vⁱ;ⱼ，🐔是(∂/∂xⁱ)
三、证明
　　为了简洁，暂且记(∂/∂xʲ)ᴮ▽ʙ为▽ⱼ。考虑用▽ⱼ给Vᴬ=vⁱ ·(∂/∂xⁱ)ᴬ的两边作用
▽ⱼVᴬ=▽ⱼ[∑ᵢ vⁱ ·(∂/∂xⁱ)ᴬ]
=(▽ⱼvⁱ)(∂/∂xⁱ)+vⁱ▽ⱼ(∂/∂xⁱ)　//莱律
=(▽ⱼvⁱ+Γⁱⱼₖ vᵏ)(∂/∂xⁱ)　　 　//变形参照主楼
=(vⁱ,ⱼ+Γⁱⱼₖ vᵏ)(∂/∂xⁱ)

如果