网上有很多0.9循环等于1的证明。
但是解决一个错题，不单单需要给出正确答案，还要告诉犯错的人，他们到底错在哪。
讨论严格证明的时候，很多人都会提到戴德金分割。今天才知道出处是李永乐老师那里。但是我感觉吧，其实不管是什么证明，讨论这个问题，却不讨论0.9的循环到底是什么，其实都是在换一种方式回避问题。
这个问题的本质其实是，那些不承认0.9循环等于1的人其实没有明确0.9的循环到底是什么意思。
0.9的循环到底是什么？ 我们把它定义为0.9，0.99，0.999……这个序列的极限，这点想必相等派和不等派都没有异议。
那么问题就来了，不承认的人认为，这个序列的每一项都小于1，所以这个0.999……这个数也就小于1。
错在哪，错在0.999……这个数，是这个序列的极限，而本身其实并不在这个序列中。
这很容易理解，就像当X趋向无穷时，1/X的极限是0。但是当我这么说时，完全没有X等于什么数的时候，1/X本身会等于0的含义在其中。我们都承认这个序列会趋近0，但是永远不会等于0。
一旦承认这一点，这个0.9循环和1是否相等就不应该再有异议了。
0.9循环有无穷个9，所以无论0.9，0.99……的序列有多少项，都只能无限逼近0.9的循环，但是到不了0.9循环这个数本身。正如这个序列可以无限逼近1，但是也到不了1。
当然，如果你还是需要一个数学证明，由这个思路也可以给出一个证明。
0.9，0.99……这个序列的上确界是1，非常容易证明，也很显然。同时0.9，0.99……这个序列的上确界也为0.9循环。同样很容易证明，并且很显然。那么由上确界的唯一性，这两个数相等。