谢谢你，午夜发癫人

关于 kan extension 的可爱性质：局部和全局的左右恰好相反。
对于局部 local kan extension 中一个右函子 Forget : C -> C'
有个全局 global kan extension 的左函子 (Id . Forget) : [C',D] -> [C,D]

以集合为对象函数为态射的 Set 是个很理想的范畴，这里我们有：
- 终对象 1 也即单集，从任意对象有唯一态射
- 始对象 0 也即空集，到任意对象有唯一态射
- 任意两对象a,b有余积 a+b 也就是互斥并集
- 任意两对象a,b有乘积 a×b 也就是笛卡尔积
- 任意从a到b的态射集 hom(a,b) 在范畴内部有对应的指数对象 b^a 满足 hom(c×a,b) = hom(c,b^a) 也就是说函子 -×a 与 -^a 成左右伴随；我们把这样的范畴叫做笛卡尔闭范畴
如果我们只关心有限集合 FinSet 那么这里的对象就是（至同构）自然数，上述的结构依然存在，也就对应自然数的 1、0、加法、乘法、次方。
如果我们不想要空集，给每个集合加个点 * 同时调整所有态射保留新增的点，我们就得到了有点集范畴 PointedSet 而它的结构很欠揍：
- 终对象 {*} 是曾经的 0 虽然不空了，我们还是叫它零对象
- 始对象还是 0 因为保留新点的态射只能选 * ↦ *
- 余积是楔和，两边各自的新点视为同一
- 乘积是碎积，所有带点的元组视为同一
- 指数对象伴随的不是笛卡尔积，而是碎积（幺半群结构），所以叫做幺半群闭范畴
几乎所有实用的编程语言（包括haskell）都是这样的有点范畴，因为它们允许定义并运行不完整的程序。比如我们可以写 f : ℝ → ℝ; f(x) = 1/x 而当 x = 0 时要么运行陷入死循环，要么这个线程报错终结。这个死循环/报错就是新增的点。这个点会污染所有类型和函数。即使我一千个函数中只有一个可能卡住/报错，整个系统都不安全。但这却是为了实用必须做出的牺牲。即使所有程序员都有数学家的水平，将编程当成数学证明来写，在程序运行时，一粒宇宙射线也可能恰好穿过内存反转某个比特导致运算出错。物质世界的限制，要求程序做好出错的准备。
见到奥比斯塔的洛肯想要从0变1，虚空变异生点，感染众原灵。老马精心设计的完美结构被污。零对象既始且终，龙蛇一体。

玩老滚并且正在学离散的萌新弱弱问一句，这些是什么啊…😨

回复一下楼中楼的北龙
物理学对纠缠有没有更详细的解释？
量子力学里面纠缠就是积非交换性, 即向量空间张量积中的元素无法表示为元素的张量积.
具体可以表示为

画交换图是

张量积是一个满足双线性的"强行扩容", 熟悉自由群定义就很容易理解这种"把一堆东西摆在一起"是在干什么.
另外张量积满足双线性的等价关系, 也就是说我们在自由构造之余要商去所有双线性运算(加法和来自域K的纯量乘法)
现在构造张量积空间是个清晰的事: Cartesian积上的自由构造, 商去双线性关系得到一系列双线性等价运算, 对此我们有

自由构造具有泛性质, 也就是集合基给出一一对应, 0对象, 这里不多说了, Commutative Diagram下很明白

quotient space的泛性质对应另一个三角形交换图

现在我们把三角形交换图拼合起来

合成态射得到张量积的泛性质

张量积就是一种"泛双线性型", 是最基础的双线性结构.

补充:
双线性性还应该附加:

另外说起operad, 我发现了operad解释熵的一篇文章, https://arxiv.org/abs/2107.09581, 熵即诸simplices上的operad的非线性微分. 也就是non-linear Leibnitz law

而微分...又是实多项式环的张量积构造, 并且是monad中的两头


想法有些泥沙俱下, 先写到这

图表大小写有些问题, 关于pointedset上的左右伴随, 涉及目前我尚不太了解的Adjoint monads, 可能需要些时间攻克

谢谢这么详细的解释，可是我恰好理解到了相反的结论 :D
如果 V 代表某个系统的配置空间，自由构造 FV 可以理解为未归一（取softmax前）的概率分布空间。
直积 V⊕W 就是两份配置，同时 FV⊕FW 描述两个独立的系统。而 F(V⊕W) 则是它们在相互作用，完事后商去双线性（因为孩子是双方的）得到 V⊗W 这个张量积作为结果配置空间。
可是物质世界只能承载 V⊕W 量的信息，于是 V⊗W - V⊕W 也就是张量积空间中不能被分离回去的部分，就成了纠缠态。
描述两个纠缠的光子，相比描述两独立光子，需要更少的信息。纠缠是自由度的缺失，就像化学键是能量的缺失。