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【干货】【专题】不等式,从入门到大神
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你还在为不知道如何配凑基本不等式和如何放缩求最值而苦恼吗?还在对着题目干瞪眼没有思路吗?本帖纯干货,带领你深入理解基本不等式的题型及其相关方法和数学思想。
也许许多东西你的老师也没深入讲过,甚至压根没有讲过。
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首先看到书内给定的几个比较基本的不等式公理
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2024-06-04 18:45
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①
若有a>0,b>0。且有a>b,则一定有a的n次方>b的n次方(n属于R)。
②若有a>b,c>d。则a+c>b+d 。
③若a>b,则b<a
④若a>b,b>c,则a>c。
⑤若a>b,则a+c>b+c。
⑥若a>b,则-a<-b。
⑦若a>b,则1/a<1/b。
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基本不等式一般形式
若a,b>0
则有a²+b²≥2ab
证明:
(a-b)²≥0
所以a²-2ab+b²≥0
根据不等式基本性质a+c>b+c
可得a²+b²≥2ab。
当且仅当a=b时等式成立。
证毕。
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基本不等式其他常用形式
①(x+y)²/4≥xy(x,y>0)
②x+y≥2√xy(x,y>0)
③x²+y²≥(x+y)²/2(重要不等式)(x,y>0)
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先看一个经典的例题
①已知x+y=1,求1/x+1/y的最小值
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遇到不等式题怎么办?
①看给的条件先,比如这题。他给定了一个方程让我们来求另一个方程的最小值。
这时候如果没有其他条件,我们就观察给定的方程。看他的未知数前的系数和其次数是如何的。
我们观察这个式子发现其十分友好。xy前系数皆为1,次数也都为1。这也就意味着我们不用想办法搞什么齐次化,化系数之类的东西了。意思就是不用太多处理。
那么我们分析完毕,发现所给式子不需要处理。接下来就看要干什么了吧?
②观察所求式子。
观察发现未知数皆位于分母。其分子都为常数1。这时候呢,如果基础比较好应该我们能有三个基本的正常思路,分别为齐次化,1的代换(实质其实也是齐次化)和暴力消元。
那么分析完了,思路缕清了。我们就该写了吧?那么我们就用上面三种基本方法演示一下基本不等式题目的一般过程。
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①齐次化
什么是齐次化?就是把目标式子变成一个齐次式来方便处理或求解。什么叫齐次式?就是分子分母次数一致的式子,例如x/y。但是如果分子分母中有一个如果没有未知数只是个常数,那他也不是齐次式。
操作过程:
将x+y=1代入原式得到
(x+y)/x+(x+y)/y
此时化为齐次式,分子分母次数一致。
进一步化简得到:
x/y+y/x+2。
因为xy取值大于零,所以可以直接基本不等式。
即(x/y+y/x)+2≥2√(x/y.y/x)+2=4。
当且仅当,x/y=y/x,即y=x时。等号可取。
注意点:使用基本不等式时一定要保证未知数大于零,并且取等条件在取值范围内。并且满足和定积定。
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②暴力消元
因为1的代换和齐次化本质相同,所以跳过。
消元是数学里一个非常常见的操作。当出现多个未知数时,我们如果知道一个关于几个未知数的等式,便可以通过更少的未知数表示另一个未知数来减少元,达到消元的效果。并且更接近于我们想求解的结果。
这里便可以使用暴力消元法。
我们观察式子发现二式都仅有两个未知数,并且次数一致。我们便可以轻易想到换元可以解出这题。
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由x+y=1得到y=1-x。
代入原式得到
1/x+1/(1-x)
通分得到
(1-x)/(x-x²)+x/(x-x²)
合并得到1/(x-x²)
因而我们只需要求出此式子的最小值即可。
那么我们的目的就相当于求出分母的最大值。
利用顶点公式得到x=1/2>0,所以可取此值。
代入得到原式等于4,所以最小值为4。
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那么通过这道题,我们简单了解了看不等式题目条件的基本思路和做题的常见的两种方法。
那么接下来,我们来进一步加深对这些东西的理解吧。
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例题②x,y>0,已知x²-2+y²=8,试求1/(x+y)+1/(x-y)的最小值。
xmkln
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怎么老是你
,虽然我不会
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我们按照之前的思路来做一遍这道题
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首先我们来看一下所给式子,我们会发现是个又减法又带平方的式子,十分的丑陋,令人难受,并且与所求式子看起来没有任何关系。
但是我们稍加思考就会想到初中的一个基本知识,平方差公式。
即x²-y²=(x+y)(x-y)
这不就把所给式子和所求式子串联起来了吗?
那么接下来我们来介绍一个特殊的换元思路,双换元。
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